Kreis/Haarsches Maß/Beispiel

Auf der ${\displaystyle {}1}$-Sphäre ${\displaystyle {}S^{1}}$ lässt sich das Haarsche Maß einfach direkt definieren. Für einen Kreisbogen ${\displaystyle {}A\subseteq S^{1}}$ zu einem Winkel ${\displaystyle {}\alpha }$ im Bogenmaß muss natürlich ${\displaystyle {}\mu (A)=\alpha /2\pi }$ sein. Das Haarsche Maß ist also das ${\displaystyle {}1/2\pi }$-fache des Bogenmaßes. Dieser Ansatz liefert nicht nur ein Maß für zusammenhängende Teilbögen, sondern für jede Borelmenge, indem man von der messbaren Bijektion

${\displaystyle \varphi \colon [0,2\pi )\longrightarrow S^{1},\,t\longmapsto (\cos t,\sin t),}$

ausgeht und für eine Borelmenge ${\displaystyle {}B\subseteq S^{1}}$ das Haarsche Maß durch

${\displaystyle {}\mu (B)={\frac {\lambda (\varphi ^{-1}(B))}{2\pi }}\,}$

definiert, wobei ${\displaystyle {}\lambda }$ das eindimensionale Borel-Lebesgue-Maß bezeichnet.