Kreis/Punkt/Abstand/Aufgabe/Lösung

Wir behaupten, dass der Abstand im Punkt ${\displaystyle {}Q={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}}$ angenommen wird. Aufgrund der Normierung handelt es sich um einen Punkt von ${\displaystyle {}K}$. Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein weiterer Punkt des Einheitskreises. Die Punkte ${\displaystyle {}0,Q,P}$ liegen auf einer Geraden, und da ${\displaystyle {}P}$ außerhalb des Kreises liegt, ist

${\displaystyle {}d(0,P)=d(0,Q)+d(Q,P)\,.}$

Aufgrund der Dreiecksungleichung ist

${\displaystyle {}d(0,R)+d(R,P)\geq d(0,P)\,,}$

und hierbei gilt sogar ${\displaystyle {}>}$, wenn die drei Punkte nicht auf einer Geraden liegen (siehe Aufgabe). Somit ist für ${\displaystyle {}R\neq Q}$

${\displaystyle {}d(R,P)>d(Q,P)\,}$

${\displaystyle {}R=-Q}$