Kreisring/Holomorphe Funktion/Laurent-Entwicklung/Fakt/Beweis

Ohne Einschränkung sei ${\displaystyle {}a=0}$, es sei ${\displaystyle {}z\in U}$ fixiert. Es sei ${\displaystyle {}\delta >0}$ hinreichend klein, wir setzen

${\displaystyle {}r<s=\vert {z}\vert -\delta <\vert {z}\vert <\vert {z}\vert +\delta =S<R\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}\alpha }$ die einfache Umrundung von ${\displaystyle {}z}$ mit dem Abstand ${\displaystyle {}\delta }$, nach der Integralformel gilt

${\displaystyle {}f(z)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\alpha }{\frac {f(w)}{w-z}}dw\,.}$

Statt ${\displaystyle {}\alpha }$ betrachten wir den Weg ${\displaystyle {}{\tilde {\alpha }}}$, der sich aus je einem Kreisbogen auf den Kreisen um ${\displaystyle {}0}$ mit den Radien ${\displaystyle {}s}$ und ${\displaystyle {}S}$ und den an ${\displaystyle {}B\left(z,\delta \right)}$ tangentialen Strahlen zusammensetzt. Wegen Fakt, angewendet auf Viertelausschnitte von ${\displaystyle {}\alpha }$ bzw. ${\displaystyle {}{\tilde {\alpha }}}$, ist auch

${\displaystyle {}f(z)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\tilde {\alpha }}{\frac {f(w)}{w-z}}dw\,.}$

Wir füllen den durch ${\displaystyle {}s}$ und ${\displaystyle {}S}$ gegebenen Kreisring durch (neben den durch ${\displaystyle {}{\tilde {\alpha }}}$ gegebenen) weitere sternförmige Kreisringsektoren auf, die zugehörigen Wegintegrale über ${\displaystyle {}{\frac {f(w)}{w-z}}dw}$ sind nach Fakt gleich ${\displaystyle {}0}$, da die Form dort holomorph ist. Wenn man diese Wegintegrale aufsummiert, so ergibt sich, da die Strahlen entgegengesetzt durchlaufen werden,

${\displaystyle {}{\begin{aligned}f(z)&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\tilde {\alpha }}{\frac {f(w)}{w-z}}dw\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma _{S}}{\frac {f(w)}{w-z}}dw-{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma _{s}}{\frac {f(w)}{w-z}}dw\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma _{S}}{\frac {f(w)}{w-z}}dw+{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma _{s}}{\frac {f(w)}{-w+z}}dw,\end{aligned}}}$

wobei ${\displaystyle {}\gamma _{s},\gamma _{S}}$ die einfach gegen den Uhrzeigersinn durchlaufenen Kreiswege um ${\displaystyle {}0}$ mit den Radien ${\displaystyle {}s}$ und ${\displaystyle {}S}$ bezeichnen.

Auf die beiden Integrale wenden wir den Trick mit der geometrischen Reihe aus Fakt an (beachte, dass im linken Integral ${\displaystyle {}\vert {\frac {z}{w}}\vert <1}$ und im rechten Integral ${\displaystyle {}\vert {\frac {w}{z}}\vert <1}$ gilt). Das linke Integral wird zu

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{\gamma _{S}}{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\cdot {\frac {f(w)}{w-z}}dw&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma _{S}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f(w)}{w}}\left({\frac {z}{w}}\right)^{k}dw\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\sum _{k=0}^{\infty }{\left(\int _{\gamma _{S}}{\frac {f(w)}{w}}\cdot {\frac {1}{w^{k}}}dw\right)}z^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\left({\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma _{S}}{\frac {f(w)}{w^{k+1}}}dw\right)}z^{k}\end{aligned}}}$

und das rechte Integral wird unter Verwendung von

${\displaystyle {}{\frac {f(w)}{z-w}}={\frac {f(w)}{z}}\cdot {\frac {z}{z-w}}={\frac {f(w)}{z}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {w}{z}}}}={\frac {f(w)}{z}}{\left(\sum _{\ell =0}^{\infty }\left({\frac {w}{z}}\right)^{\ell }\right)}\,}$

zu

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{\gamma _{s}}{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\cdot {\frac {f(w)}{z-w}}dw&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma _{s}}\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {f(w)}{z}}\left({\frac {w}{z}}\right)^{\ell }dw\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\sum _{\ell =0}^{\infty }{\left(\int _{\gamma _{s}}f(w)\cdot {\frac {1}{w^{-\ell }}}dw\right)}z^{-1-\ell }\\&=\sum _{k=-1}^{-\infty }{\left({\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma _{s}}{\frac {f(w)}{w^{k+1}}}dw\right)}z^{k}.\end{aligned}}}$

Dies zeigt insgesamt die Gleichheit

${\displaystyle {}f(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}z^{n}\,,}$

wobei die Koeffizienten ${\displaystyle {}c_{n}}$ durch die angegebenen Integrale gegeben und insbesondere unabhängig von ${\displaystyle {}z}$ sind. In der Berechnung der Koeffizienten kann man dabei ${\displaystyle {}\gamma _{s}}$ und ${\displaystyle {}\gamma _{S}}$ nach Fakt untereinander und durch einen beliebigen Kreisweg um den Nullpunkt innerhalb des Kreisringes ersetzen.