Kreisteilungskörper/10/Primitive Einheitswurzeln/Automorphismus/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}\zeta =e^{2\pi {\mathrm {i} }/10}}$. Bestimme den (alle?) Körperautomorphismus ${\displaystyle {}K_{10}\rightarrow K_{10}}$, der ${\displaystyle {}\zeta ^{3}}$ auf ${\displaystyle {}\zeta ^{7}}$ abbildet. Wohin wird ${\displaystyle {}\zeta ^{9}}$ abgebildet?