Kreisteilungspolynom/15/Aufgabe/Lösung

Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}X^{15}-1&=\Phi _{1}\cdot \Phi _{3}\cdot \Phi _{5}\cdot \Phi _{15}\\&=(X-1)\cdot (X^{2}+X+1)\cdot (X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1)\cdot \Phi _{15}\\&=(X^{5}-1)\cdot (X^{2}+X+1)\cdot \Phi _{15}.\end{aligned}}}$

Wir führen zuerst die Polynomdivision ${\displaystyle {}X^{15}-1}$ durch ${\displaystyle {}X^{5}-1}$ durch, dies ergibt den Quotienten ${\displaystyle {}X^{10}+X^{5}+1}$. Eine weitere Polynomdivision ergibt

${\displaystyle X^{10}+X^{5}+1=(X^{2}+X+1)\cdot (X^{8}-X^{7}+X^{5}-X^{4}+X^{3}-X+1).}$

Somit ist

${\displaystyle \Phi _{15}=X^{8}-X^{7}+X^{5}-X^{4}+X^{3}-X+1.}$