Kreisteilungsring/5/Operation auf Kähler-Differentialen/Aufgabe/Lösung

Es ist ${\displaystyle {}R=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1\right)}}$, die Galoisgruppe ist

${\displaystyle {}\operatorname {Gal} \,(K{|}\mathbb {Q} )={\left(\mathbb {Z} /(5)\right)}^{\times }\,,}$

eine Einheit ${\displaystyle {}a\in {\left(\mathbb {Z} /(5)\right)}^{\times }}$ wirkt durch die Substitution ${\displaystyle {}x\mapsto x^{a}}$, siehe Fakt (wir schreiben ${\displaystyle {}x}$ für die Restklasse von ${\displaystyle {}X}$).

${\displaystyle {}a=2}$. Es wird ${\displaystyle {}dx}$ auf

${\displaystyle {}dx^{2}=2xdx\,}$

abgebildet, ${\displaystyle {}xdx}$ wird unter Verwendung von Aufgabe auf

${\displaystyle {}x^{2}dx^{2}=2x^{3}dx=2{\left(1+2x+3x^{2}\right)}dx={\left(2+4x+x^{2}\right)}dx\,}$

abgebildet. Es wird ${\displaystyle {}x^{2}sx}$ auf

${\displaystyle {}x^{4}dx^{2}=2x^{5}dx=2dx\,}$

abgebildet. Die zugehörige Matrix ist also

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&2&2\\2&4&0\\0&1&0\end{pmatrix}}.}$

Da die Gesamtzuordnung

${\displaystyle \operatorname {Gal} \,(K{|}\mathbb {Q} )\longrightarrow \operatorname {Aut} \,\Omega _{R_{5}{|}\mathbb {Z} }}$

ein Gruppenhomomorphismus ist, und ${\displaystyle {}x\mapsto x^{2}}$ die Galoisgruppe erzeugt, gehört zu ${\displaystyle {}x\mapsto x^{4}}$ die Matrix

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}0&2&2\\2&4&0\\0&1&0\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}4&0&0\\3&0&4\\2&4&0\end{pmatrix}}\,}$

und zu ${\displaystyle {}x\mapsto x^{3}}$ die Matrix

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}0&2&2\\2&4&0\\0&1&0\end{pmatrix}}^{3}={\begin{pmatrix}4&0&0\\3&0&4\\2&4&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&2&2\\2&4&0\\0&1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&3&3\\0&0&1\\3&0&4\end{pmatrix}}\,.}$