Kreisteilungsring/9/Kähler-Differentiale/Relative Sequenz/Aufgabe/Lösung

Es geht um die Sequenz

${\displaystyle \Omega _{R_{3}{|}\mathbb {Z} }\otimes _{R_{3}}R_{9}\longrightarrow \Omega _{R_{9}{|}\mathbb {Z} }\longrightarrow \Omega _{R_{9}{|}R_{3}}\longrightarrow 0}$

von ${\displaystyle {}R_{9}}$-Moduln. Dabei bestehen, mit ${\displaystyle {}R_{3}=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{2}+X+1\right)}}$ und

${\displaystyle {}R_{9}=\mathbb {Z} [Y]/{\left(Y^{6}+Y^{3}+1\right)}=R_{3}[Y]/{\left(Y^{3}-X\right)}\,,}$

die Beschreibungen

${\displaystyle {}\Omega _{R_{3}{|}\mathbb {Z} }=\mathbb {Z} /(3)dX\,}$

nach Beispiel,

${\displaystyle {}\Omega _{R_{9}{|}\mathbb {Z} }=\mathbb {Z} /(9)[Y]/{\left(Y^{6}+Y^{3}+1,3Y^{3}-3\right)}dY\,}$

nach Aufgabe und

${\displaystyle {}\Omega _{R_{9}{|}R_{3}}={\left(\mathbb {Z} /(3)[X]/{\left(X^{2}+X+1\right)}\right)}[Y]/{\left(Y^{3}-X\right)}dY\,}$

nach Aufgabe. Unter der Abbildung rechts wird ein Element

${\displaystyle {\left(a+bY+cY^{2}+dY^{3}+eY^{4}+fY^{5}\right)}dY}$

mit ${\displaystyle {}a,b,c\in \mathbb {Z} /(9)}$, ${\displaystyle {}e,f,g\in \{0,1,2\}}$ (und mit ${\displaystyle {}3Y^{3}dY=3dY}$) auf

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left(a+bY+cY^{2}+dY^{3}+eY^{4}+fY^{5}\right)}dY&={\left(a+bY+cY^{2}+dX+eXY+fXY^{2}\right)}dY\\&={\left(a+dX+{\left(b+eX\right)}Y+{\left(c+fX\right)}Y^{2}\right)}dY\end{aligned}}}$

abgebildet, wobei ${\displaystyle {}a,b,c}$ modulo ${\displaystyle {}3}$ genommen werden muss. Der Kern ist

${\displaystyle {\left\{{\left(a+bY+cY^{2}\right)}dY\mid a,b,c=0,3,6\right\}}.}$

Die Abbildung links ist durch ${\displaystyle {}dX\mapsto dX=dY^{3}=3Y^{2}dY}$ gegeben. Der von diesem Bild erzeugte ${\displaystyle {}R_{9}}$-Untermodul in ${\displaystyle {}\Omega _{R_{9}{|}\mathbb {Z} }}$ (das ist das Bild der Tensorierung)

${\displaystyle {}3Y^{2}dY,3Y^{3}dY=3dY,3Y^{4}=3YdY}$

${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$