Kubische Gleichung/x^3-3x+1/Bestimme Lösungen/Aufgabe/Lösung

Wir wenden Fakt auf das Polynom ${\displaystyle {}X^{3}-3X+1}$ an. Es ist demnach ${\displaystyle {}p=-3,\,q=2}$ und ${\displaystyle {}D=81}$ und somit ist

${\displaystyle {}u={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}{\left(-1+{\sqrt {-3}}\right)}}}={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}{\left(-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }\right)}}}=\zeta \,}$

und

${\displaystyle {}v={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}{\left(-1-{\sqrt {-3}}\right)}}}={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}{\left(-1-{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }\right)}}}=\zeta ^{8}\,,}$

wobei ${\displaystyle {}\zeta }$ hier die primitive komplexe neunte Einheitswurzel bezeichnet, die ja eine dritte Wurzel der dritten Einheitswurzel ${\displaystyle {}\eta ={\frac {1}{2}}{\left(-1+{\sqrt {-3}}\right)}}$ ist. Dabei gilt ${\displaystyle {}uv=1}$. Somit sind ${\displaystyle {}u+v=\zeta +\zeta ^{8},\,\eta u+\eta ^{2}v=\zeta ^{4}+\zeta ^{6}\zeta ^{8}=\zeta ^{4}+\zeta ^{5}}$ und ${\displaystyle {}\eta ^{2}u+\eta v=\zeta ^{7}+\zeta ^{3}\zeta ^{8}=\zeta ^{7}+\zeta ^{2}}$ die (allesamt reellen)