Kubische Gleichungen/Interpolation/Schnittpunkte/Aufgabe/Lösung

${\displaystyle {}P=aX^{3}+bX^{2}+cX+d\,.}$

Die Bedingungen führen auf das lineare Gleichungssystem

${\displaystyle {}-a+b-c+d=-4\,,}$

${\displaystyle {}d=2\,,}$

${\displaystyle {}a+b+c+d=2\,,}$

${\displaystyle {}8a+4b+2c+d=3\,.}$

Elimination von ${\displaystyle {}d}$ führt auf

${\displaystyle {}-a+b-c=-6\,,}$

${\displaystyle {}a+b+c=0\,,}$

${\displaystyle {}8a+4b+2c=1\,.}$

Addition der ersten beiden Gleichungen führt auf

${\displaystyle {}2b=-6\,,}$

also

${\displaystyle {}b=-3\,.}$

Dies führt auf

${\displaystyle {}a+c=3\,}$

und

${\displaystyle {}8a+2c=13\,.}$

Somit ist

${\displaystyle {}6a=7\,,}$

also

${\displaystyle {}a={\frac {7}{6}}\,}$

und

${\displaystyle {}c={\frac {11}{6}}\,.}$

Das gesuchte Polynom ist also

${\displaystyle {}P={\frac {7}{6}}X^{3}-3X^{2}+{\frac {11}{6}}X+2\,.}$

${\displaystyle {}Q=X^{3}+rX^{2}+sX+t\,.}$

Die Bedingungen führen auf das lineare Gleichungssystem

${\displaystyle {}t=1\,,}$

${\displaystyle {}8+4r+2s+t=3\,,}$

${\displaystyle {}27+9r+3s+t=10\,.}$

Dies führt auf

${\displaystyle {}4r+2s=-6\,,}$

${\displaystyle {}9r+3s=-18\,.}$

Die Gleichung ${\displaystyle {}3I-2II}$ ist

${\displaystyle {}-6r=18\,,}$

also

${\displaystyle {}r=-3\,}$

und

${\displaystyle {}s=3\,.}$

Das gesuchte Polynom ist also

${\displaystyle {}Q=X^{3}-3X^{2}+3X+1\,.}$

${\displaystyle {}x}$

${\displaystyle {}P}$

${\displaystyle {}Q}$

${\displaystyle {}P-Q={\frac {7}{6}}X^{3}-3X^{2}+{\frac {11}{6}}X+2-{\left(X^{3}-3X^{2}+3X+1\right)}={\frac {1}{6}}X^{3}-{\frac {7}{6}}X+1\,.}$

Wir arbeiten mit ${\displaystyle {}X^{3}-7X+6}$. Wegen

${\displaystyle {}P(2)=3=Q(2)\,}$

ist ${\displaystyle {}2}$ eine Nullstelle dieses Polynoms. Die Division mit Rest führt auf

${\displaystyle {}X^{3}-7X+6=(X-2)(X^{2}+2X-3)\,.}$

Es geht also noch um die Nullstellen von

${\displaystyle X^{2}+2X-3.}$

Diese sind ${\displaystyle {}1}$ und ${\displaystyle {}-3}$. Die Schnittpunkte der beiden Graphen sind demnach

${\displaystyle (-3,-62),\,(1,2),\,(2,3).}$