Kubisches Polynom/Lokale Extrema/1/Aufgabe/Lösung

Die Ableitung der Funktion ${\displaystyle {}f}$ ist

${\displaystyle {}f'(x)=-6x^{2}+14x-3\,}$

und die zweite Ableitung ist

${\displaystyle {}f^{\prime \prime }(x)=-12x+14\,.}$

Wenn wir die erste Ableitung gleich ${\displaystyle {}0}$ setzen, so erhalten wir

${\displaystyle {}x^{2}-{\frac {7}{3}}x+{\frac {1}{2}}=0\,}$

und damit

${\displaystyle {}x_{1,2}={\frac {7}{6}}\pm {\sqrt {\left({\frac {7}{6}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}}}={\frac {7}{6}}\pm {\sqrt {{\frac {49}{36}}-{\frac {18}{36}}}}={\frac {7}{6}}\pm {\frac {\sqrt {31}}{6}}\,.}$

Für die zweite Ableitung an

${\displaystyle {}x_{2}={\frac {7}{6}}-{\frac {\sqrt {31}}{6}}={\frac {7-{\sqrt {31}}}{6}}\,}$

ist

${\displaystyle {}f^{\prime \prime }{\left({\frac {7-{\sqrt {31}}}{6}}\right)}=-14+2{\sqrt {31}}+14>0\,,}$

also liegt an der Stelle ${\displaystyle {}{\frac {7-{\sqrt {31}}}{6}}}$ ein isoliertes lokales Minimum vor.

Für die zweite Ableitung an

${\displaystyle {}x_{1}={\frac {7}{6}}+{\frac {\sqrt {31}}{6}}={\frac {7+{\sqrt {31}}}{6}}\,}$

ist

${\displaystyle {}f^{\prime \prime }{\left({\frac {7+{\sqrt {31}}}{6}}\right)}=-14-2{\sqrt {31}}+14<0\,,}$

${\displaystyle {}{\frac {7+{\sqrt {31}}}{6}}}$