Kugel/Radius/Weingartenabbildung/Beispiel

Es sei

${\displaystyle {}h(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}\,}$

und wir betrachten die Faser ${\displaystyle {}Y}$ zu ${\displaystyle {}h}$ über ${\displaystyle {}r^{2}}$, also die Kugeloberfläche zum Radius ${\displaystyle {}r>0}$ mit dem Ursprung als Mittelpunkt. Es sei ${\displaystyle {}P=\left(x_{0},\,y_{0},\,z_{0}\right)\in Y}$. Durch eine Isometrie kann man diesen Punkt nach ${\displaystyle {}Q=\left(r,\,0,\,0\right)}$ transformieren, was die Weingartenabbildung nicht ändert. Eine Basis des Tangentialraumes ist dann ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}}$. Das nach innen gerichtete Einheitsnormalenfeld ${\displaystyle {}N}$ ist ${\displaystyle {}-{\frac {1}{2r}}{\begin{pmatrix}2x\\2y\\2z\end{pmatrix}}}$ und daher ist zu

${\displaystyle {}v={\begin{pmatrix}0\\b\\c\end{pmatrix}}\,}$

${\displaystyle {}{\left(D_{v}N\right)}{\left(Q\right)}=b{\frac {\partial N}{\partial y}}(Q)+c{\frac {\partial N}{\partial z}}(Q)=-b{\frac {1}{2r}}{\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}}-c{\frac {1}{2r}}{\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}}=-{\frac {1}{r}}{\begin{pmatrix}0\\b\\c\end{pmatrix}}\,.}$

Daher ist die Weingartenabbildung Multiplikation mit dem Kehrwert ${\displaystyle {}{\frac {1}{r}}}$ des Radius.