Kummererweiterung/Graduierte Körpererweiterung/Äquivalenz/Fakt/Beweis

(1). Dies ist eine Neuformulierung von Fakt.
(2). Nach Fakt sind sämtliche Automorphismen ${\displaystyle {}\varphi \in G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)}$ diagonalisierbar. Da die Galoisgruppe abelsch ist, folgt aus Fakt die simultane Diagonalisierbarkeit aller Automorphismen ${\displaystyle {}\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}}$ (${\displaystyle {}n={\#\left(G\right)}}$). Das heißt, dass man ${\displaystyle {}L=\bigoplus _{i=1}^{n}L_{i}}$ mit eindimensionalen ${\displaystyle {}K}$-Untervektorräumen ${\displaystyle {}L_{i}}$ schreiben kann, die unter jedem ${\displaystyle {}\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)}$ auf sich abgebildet werden. Zu jedem ${\displaystyle {}L_{i}}$ und jedem ${\displaystyle {}\varphi }$ ist dabei ${\displaystyle {}\varphi (x)=\zeta _{i,\varphi }\cdot x}$ für jedes ${\displaystyle {}x\in L_{i}}$, das Element ${\displaystyle {}\zeta _{i,\varphi }}$ beschreibt also den Eigenwert von ${\displaystyle {}\varphi }$ auf ${\displaystyle {}L_{i}}$. Die Zuordnung

${\displaystyle \delta _{i}\colon G\longrightarrow K^{\times },\,\varphi \longmapsto \zeta _{i,\varphi },}$

ist dabei ein Charakter. Es ist ${\displaystyle {}L_{i}\subseteq L_{\delta _{i}}}$, da ja ${\displaystyle {}L_{i}}$ die zu ${\displaystyle {}\delta _{i}}$ gehörende Eigenraumbedingung erfüllt. Wegen

${\displaystyle {}n=\operatorname {grad} _{K}L={\#\left(G\right)}={\#\left(D\right)}\,}$

ist ${\displaystyle {}L_{i}=L_{\delta _{i}}}$ und jeder Charakter ${\displaystyle {}\delta }$ tritt als ein ${\displaystyle {}\delta _{i}}$ auf. Also ist ${\displaystyle {}L=\bigoplus _{\delta \in D}L_{\delta }}$. Die Stufe zum konstanten Charakter ist ${\displaystyle {}K}$. Für ${\displaystyle {}x_{1}\in L_{\delta _{1}}}$ und ${\displaystyle {}x_{2}\in L_{\delta _{2}}}$ und ${\displaystyle {}\varphi \in G}$ ist

${\displaystyle {}\varphi (x_{1}x_{2})=\varphi (x_{1})\varphi (x_{2})=\delta _{1}(\varphi )x_{1}\delta _{2}(\varphi )x_{2}=\delta _{1}(\varphi )\delta _{2}(\varphi )x_{1}x_{2}={\left(\delta _{1}\cdot \delta _{2}\right)}(\varphi )x_{1}x_{2}\,,}$

also ${\displaystyle {}x_{1}x_{2}\in L_{\delta _{1}\cdot \delta _{2}}}$, sodass in der Tat eine graduierte Körpererweiterung vorliegt.