Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)/Definitionsabfrage

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper. Eine ebene affin-algebraische Kurve über ${\displaystyle {}K}$ ist das Nullstellengebilde ${\displaystyle {}V(F)\subseteq K^{2}}$ eines nicht-konstanten Polynoms ${\displaystyle {}F}$ in zwei Variablen, also

${\displaystyle F=\sum _{0\leq i,j\leq m}\,a_{ij}X^{i}Y^{j}\,({\text{mit }}a_{ij}\in K).}$

D.h. es ist

${\displaystyle V(F)={\left\{(x,y)\in K^{2}\mid F(x,y)=\sum _{0\leq i,j\leq m}\,a_{ij}x^{i}y^{j}=0\right\}}\,.}$

Der Polynomring über einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$ besteht aus allen Polynomen

${\displaystyle P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}}$

${\displaystyle {}a_{i}\in R,\,i=0,\ldots ,n,\,n\in \mathbb {N} }$

und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel

${\displaystyle {}X^{n}\cdot X^{m}:=X^{n+m}\,}$

definiert ist.

Ein Körper ${\displaystyle {}K}$ heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes nichtkonstante Polynom ${\displaystyle {}F\in K[X]}$ eine Nullstelle in ${\displaystyle {}K}$ besitzt.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper. Dann nennt man ${\displaystyle {}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}=K^{n}}$ den affinen Raum über ${\displaystyle {}K}$ der Dimension ${\displaystyle {}n}$.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei ${\displaystyle {}F_{j}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$, ${\displaystyle {}j\in J}$, eine Familie von Polynomen in ${\displaystyle {}n}$ Variablen. Dann nennt man

${\displaystyle {\left\{P\in {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\mid F_{j}(P)=0{\text{ für alle }}j\in J\right\}}}$

das durch die Familie definierte Nullstellengebilde (oder Nullstellenmenge). Es wird mit ${\displaystyle {}V(F_{j},j\in J)}$ bezeichnet.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei ${\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ der Polynomring in ${\displaystyle {}n}$ Variablen. Dann heißt eine Teilmenge ${\displaystyle {}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}}$ im affinen Raum affin-algebraisch, wenn sie die Nullstellenmenge zu einer Familie ${\displaystyle {}F_{j}}$, ${\displaystyle {}j\in J}$, von Polynomen ${\displaystyle {}F_{j}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ ist, wenn also ${\displaystyle {}V=V(F_{j},j\in J)}$ gilt.

In einem affinen Raum ${\displaystyle {}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}}$ versteht man unter der Zariski-Topologie diejenige Topologie, bei der die affin-algebraischen Mengen als abgeschlossen erklärt werden.

Es sei ${\displaystyle {}T\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}}$ eine Teilmenge. Dann nennt man

${\displaystyle {\left\{F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\mid F(P)=0{\text{ für alle }}P\in T\right\}}}$

das Verschwindungsideal zu ${\displaystyle {}T}$. Es wird mit ${\displaystyle {}\operatorname {Id} \,(T)}$ bezeichnet.

Ein Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$ heißt Radikal (oder Radikalideal), wenn folgendes gilt: Falls ${\displaystyle {}f^{n}\in {\mathfrak {a}}}$ ist für ein ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$, so ist bereits ${\displaystyle {}f\in {\mathfrak {a}}}$.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\subseteq R}$ ein Ideal. Dann nennt man die Menge

${\displaystyle {\left\{f\in R\mid {\text{es gibt ein }}r{\text{ mit }}f^{r}\in {\mathfrak {a}}\right\}}}$

das Radikal zu ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$. Es wird mit ${\displaystyle {}\operatorname {rad} {\left({\mathfrak {a}}\right)}}$ bezeichnet.

Eine affin-algebraische Menge ${\displaystyle {}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}}$ heißt irreduzibel, wenn ${\displaystyle {}V\neq \emptyset }$ ist und es keine Zerlegung ${\displaystyle {}V=Y\cup Z}$ mit affin-algebraischen Mengen ${\displaystyle {}Y,Z\subset V}$ gibt.

Es sei ${\displaystyle {}V}$ eine affin-algebraische Menge. Eine affin-algebraische Teilmenge ${\displaystyle {}W\subseteq V}$ heißt eine irreduzible Komponente von ${\displaystyle {}V}$, wenn sie irreduzibel ist und wenn es keine irreduzible Teilmenge ${\displaystyle {}W\subset W'\subseteq V}$ gibt.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}K[X]}$ der Polynomring in einer Variablen über ${\displaystyle {}K}$. Dann nennt man den Quotientenkörper ${\displaystyle {}Q(K[X])}$ den rationalen Funktionenkörper über ${\displaystyle {}K}$ (oder Körper der rationalen Funktionen über ${\displaystyle {}K}$). Er wird mit ${\displaystyle {}K(X)}$ bezeichnet.