Kurs:Analysis/Teil I/27/Klausur mit Lösungen

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Gruppe.
2. Das Minimum einer Teilmenge ${\displaystyle {}M\subseteq K}$ in einem angeordneten Körper ${\displaystyle {}K}$.
3. Ein Häufungspunkt einer Folge in einem angeordneten Körper ${\displaystyle {}K}$.
4. Der Logarithmus zur Basis ${\displaystyle {}b\in \mathbb {R} _{+}}$, ${\displaystyle {}b\neq 1}$, einer positiven reellen Zahl ${\displaystyle {}x}$.
5. Die ${\displaystyle {}n}$-fache stetige Differenzierbarkeit einer Funktion

   ${\displaystyle f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }}$

   auf einer offenen Teilmenge ${\displaystyle {}D\subseteq {\mathbb {K} }}$.

6. Das Oberintegral einer nach oben beschränkten Funktion

   ${\displaystyle f\colon I\longrightarrow \mathbb {R} }$

   auf einem beschränkten Intervall ${\displaystyle {}I\subseteq \mathbb {R} }$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper ${\displaystyle {}K}$.
2. Das Weierstraß-Kriterium für Funktionenfolgen.
3. Der Satz über die Ableitung in einem lokalen Extremum.

Nehmen Sie Stellung zur folgenden Aussage: „Das Prinzip „Beweis durch Widerspruch“ ist offenbar absurd. Wenn man alles annehmen darf, so kann man immer einen Widerspruch erzielen und somit alles beweisen“.

Es seien ${\displaystyle {}M}$ und ${\displaystyle {}N}$ Mengen und seien ${\displaystyle {}A\subseteq M}$ und ${\displaystyle {}B\subseteq N}$ Teilmengen. Zeige die Gleichheit

${\displaystyle {}{\left(A\times N\right)}\cap {\left(M\times B\right)}=A\times B\,.}$

Wir zeigen die beiden Inklusionen. Es sei zunächst

${\displaystyle {}(x,y)\in {\left(A\times N\right)}\cap {\left(M\times B\right)}\,.}$

Dies bedeutet

${\displaystyle {}(x,y)\in {\left(A\times N\right)}\,}$

und

${\displaystyle {}(x,y)\in {\left(M\times B\right)}\,.}$

Dies bedeutet einerseits ${\displaystyle {}x\in A}$ und andererseits ${\displaystyle {}y\in B}$. Also ist ${\displaystyle {}(x,y)\in A\times B}$.

Wenn umgekehrt ${\displaystyle {}(x,y)\in A\times B}$ gilt, so ist ${\displaystyle {}x\in A}$ und ${\displaystyle {}y\in B}$. Wegen der Teilmengenbeziehungen ${\displaystyle {}A\subseteq M}$ und ${\displaystyle {}B\subseteq N}$ ist

${\displaystyle {}(x,y)\in {\left(A\times N\right)}\,}$

und

${\displaystyle {}(x,y)\in {\left(M\times B\right)}\,}$

und damit auch

${\displaystyle {}(x,y)\in {\left(A\times N\right)}\cap {\left(M\times B\right)}\,.}$

Bei einer Fernsehaufzeichnung sitzen ${\displaystyle {}n}$ Zuschauer im Studio, die über ein elektronisches Gerät auf verschiedene Fragen mit Ja oder Nein antworten und wobei das Ergebnis (die Ja-Antworten) in vollen Prozent auf einem Bildschirm erscheint und wobei ab ${\displaystyle {},5}$ nach oben gerundet wird.

a) Erstelle eine Formel mit Hilfe der Gaußklammer ${\displaystyle {}\lfloor \,\,\rfloor }$, die bei gegebenem ${\displaystyle {}n}$ aus ${\displaystyle {}i}$ die Prozentzahl ${\displaystyle {}p(i)}$ berechnet.

b) Für welche ${\displaystyle {}n}$ ist die Prozentabbildung aus a) injektiv und für welche surjektiv?

c) Es sei ${\displaystyle {}n=99}$. Welche Prozentzahl tritt nie auf dem Bildschirm auf?

d) Es sei ${\displaystyle {}n=101}$. Hinter welcher Prozentzahl können sich unterschiedlich viele Ja-Stimmen verbergen?

e) Es sei ${\displaystyle {}n=102}$. Hinter welchen Prozentzahlen können sich unterschiedlich viele Ja-Stimmen verbergen?

a) Die ganze Prozentzahl wird bei ${\displaystyle {}i}$ Ja-Antworten von ${\displaystyle {}n}$ Zuschauern bei der angegebenen Rundung durch

${\displaystyle {}p(i)=\left\lfloor 100\cdot {\frac {i}{n}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \,}$

berechnet.

b) Für ${\displaystyle {}n\leq 99}$ ist die Abbildung aus Anzahlgründen nicht surjektiv. Sie ist injektiv, da der ungerundete Prozentwert einer Person größer als ${\displaystyle {}1}$ ist und daher die Hinzunahme einer Person die gerundete Prozentanzahl um mindestens ${\displaystyle {}1}$ erhöht. Für ${\displaystyle {}n=100}$ ist die Abbildung die Identität, also injektiv und surjektiv. Für ${\displaystyle {}n\geq 101}$ ist die Abbildung aus Anzahlgründen nicht injektiv. Sie ist surjektiv, da der ungerundete Prozentwert einer Person weniger als ${\displaystyle {}1}$ ist und daher die Hinzunahme einer Person die gerundete Prozentanzahl um höchstens ${\displaystyle {}1}$ erhöht.

c) Die Prozentzahl ${\displaystyle {}50}$ kommt nicht vor. Für ${\displaystyle {}i=49}$ ist das Ergebnis

${\displaystyle {}\left\lfloor 100\cdot {\frac {49}{99}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {9800+99}{198}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {9899}{198}}\right\rfloor =49\,}$

(wegen ${\displaystyle {}198\cdot 50=9900}$) und für ${\displaystyle {}i=50}$ ist das Ergebnis

${\displaystyle {}\left\lfloor 100\cdot {\frac {50}{99}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {10000+99}{198}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {10099}{198}}\right\rfloor =51\,}$

(wegen ${\displaystyle {}198\cdot 51=10098}$).

d) Die Prozentzahl ${\displaystyle {}50}$ kommt doppelt vor. Für ${\displaystyle {}i=50}$ ist das Ergebnis

${\displaystyle {}\left\lfloor 100\cdot {\frac {50}{101}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {10000+101}{202}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {10101}{202}}\right\rfloor =50\,}$

(wegen ${\displaystyle {}202\cdot 50=10100}$) und für ${\displaystyle {}i=51}$ ist das Ergebnis

${\displaystyle {}\left\lfloor 100\cdot {\frac {51}{101}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {10200+101}{202}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {10301}{202}}\right\rfloor =50\,}$

(wegen ${\displaystyle {}202\cdot 51=10302}$).

e) Die Prozentzahl ${\displaystyle {}25}$ kommt doppelt vor. Für ${\displaystyle {}i=25}$ ist das Ergebnis

${\displaystyle {}\left\lfloor 100\cdot {\frac {25}{102}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {2500+51}{102}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {2551}{102}}\right\rfloor =25\,}$

(wegen ${\displaystyle {}102\cdot 25=2550}$) und für ${\displaystyle {}i=26}$ ist das Ergebnis ebenfalls

${\displaystyle {}\left\lfloor 100\cdot {\frac {26}{102}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {2600+51}{102}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {2651}{102}}\right\rfloor =25\,}$

(wegen ${\displaystyle {}102\cdot 26=2652}$). Wegen der Symmetrie der Situation (bis auf die Rundung) kommt auch die Prozentzahl ${\displaystyle {}75}$ doppelt vor, für ${\displaystyle {}i=76,77}$.

Es seien ${\displaystyle {}x\geq 2}$ und ${\displaystyle {}s>1}$ reelle Zahlen. Zeige

${\displaystyle {}1+x^{-s}<{\frac {1}{1-x^{-s}}}\leq 1+2x^{-s}\,.}$

Wegen

${\displaystyle {}x^{-s}={\frac {1}{x^{s}}}\leq {\frac {1}{2^{s}}}\leq {\frac {1}{2}}<1\,}$

ist

${\displaystyle {}1-x^{-s}>0\,.}$

Wir können also die Abschätzungen nachweisen, wenn wir mit ${\displaystyle {}1-x^{-s}}$ multiplizieren. Die linke Abschätzung folgt somit aus

${\displaystyle {}(1+x^{-s})(1-x^{-s})=1-(x^{-s})^{2}<1\,.}$

Für die rechte Abschätzung ist

${\displaystyle {}1\leq (1+2x^{-s})(1-x^{-s})=1+x^{-s}-2x^{-s}x^{-s}=1+x^{-s}(1-2x^{-s})\,}$

nachzuweisen. Aus der obigen Abschätzung ${\displaystyle {}x^{-s}\leq {\frac {1}{2}}}$ ergibt sich ${\displaystyle {}-2x^{-s}\geq -1}$ bzw. ${\displaystyle {}1-2x^{-s}\geq 0}$, was

${\displaystyle {}1\leq 1+x^{-s}(1-2x^{-s})\,}$

bestätigt.

Löse die lineare Gleichung

${\displaystyle {}(2+5{\mathrm {i} })z=(3-7{\mathrm {i} })\,}$

über ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ und berechne den Betrag der Lösung.

Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}z&=(3-7{\mathrm {i} })(2+5{\mathrm {i} })^{-1}\\&=(3-7{\mathrm {i} }){\frac {(2-5{\mathrm {i} })}{29}}\\&={\frac {6-35-14{\mathrm {i} }-15{\mathrm {i} }}{29}}\\&={\frac {-29-29{\mathrm {i} }}{29}}\\&=-1-{\mathrm {i} }.\end{aligned}}}$

Der Betrag ist

${\displaystyle {}\vert {-1-{\mathrm {i} }}\vert ={\sqrt {2}}\,.}$

Beweise das Quotientenkriterium für Reihen.

Die Konvergenz ändert sich nicht, wenn man endlich viele Glieder ändert. Daher können wir ${\displaystyle {}k_{0}=0}$ annehmen. Ferner können wir annehmen, dass alle ${\displaystyle {}a_{k}}$ positive reelle Zahlen sind. Es ist

${\displaystyle {}a_{k}={\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}\cdot {\frac {a_{k-1}}{a_{k-2}}}{\cdots }{\frac {a_{1}}{a_{0}}}\cdot a_{0}\leq a_{0}\cdot q^{k}\,.}$

Somit folgt die Konvergenz aus dem Majorantenkriterium und der Konvergenz der geometrischen Reihe.

1. Skizziere die Graphen der Funktionen

   ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x-1,}$

   und

   ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{x}},}$

2. Bestimme die Schnittpunkte der beiden Graphen.

1. ${\displaystyle {}\,}$
2. Die Schnittbedingung führt auf

   ${\displaystyle {}{\frac {1}{x}}=x-1\,}$

   bzw. auf

   ${\displaystyle {}1=x^{2}-x\,.}$

   Quadratisches Ergänzen führt auf

   ${\displaystyle {}1={\left(x-{\frac {1}{2}}\right)}^{2}-{\frac {1}{4}}\,,}$

   also

   ${\displaystyle {}{\left(x-{\frac {1}{2}}\right)}^{2}={\frac {5}{4}}\,.}$

   Somit ist

   ${\displaystyle {}x={\frac {\sqrt {5}}{2}}+{\frac {1}{2}}\,}$

   die ${\displaystyle {}x}$-Koordinate des einzigen Schnittpunktes (die negative Wurzel führt zu einem Punkt außerhalb des Definitionsbereiches). Der einzige Schnittpunkt ist

   ${\displaystyle \left({\frac {\sqrt {5}}{2}}+{\frac {1}{2}},\,{\frac {\sqrt {5}}{2}}-{\frac {1}{2}}\right).}$

Beweise den Satz über die stetige Fortsetzbarkeit einer Funktion ${\displaystyle {}T\longrightarrow {\mathbb {K} }}$, wobei ${\displaystyle {}T\subseteq {\mathbb {K} }}$ eine Teilmenge ist.

Aufgrund von Satz 14.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) genügt es zu zeigen, dass der Grenzwert ${\displaystyle {}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)}$ für jedes ${\displaystyle {}a\in {\overline {T}}\setminus T}$ existiert. Es sei ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folge in ${\displaystyle {}T}$, die gegen ${\displaystyle {}a}$ konvergiert. Wir zeigen, dass dann auch die Bildfolge ${\displaystyle {}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ konvergiert. Da diese Bildfolge in ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$ ist, und ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$ vollständig ist, genügt es zu zeigen, dass eine Cauchy-Folge vorliegt. Sei ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ vorgegeben. Wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von ${\displaystyle {}f}$ gibt es ein ${\displaystyle {}\delta >0}$ derart, dass ${\displaystyle {}d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon }$ für alle ${\displaystyle {}x,x'\in T}$ mit ${\displaystyle {}d{\left(x,x'\right)}\leq \delta }$ ist. Wegen der Konvergenz der Folge ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ handelt es sich nach Lemma 6.8 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) um eine Cauchy-Folge und daher gibt es ein ${\displaystyle {}n_{0}}$ mit ${\displaystyle {}d{\left(x_{n},x_{m}\right)}\leq \delta }$ für alle ${\displaystyle {}n,m\geq n_{0}}$. Somit gilt

${\displaystyle {}d{\left(f(x_{n}),f(x_{m})\right)}\leq \epsilon \,}$

für alle ${\displaystyle {}n,m\geq n_{0}}$.
Wir müssen nun noch zeigen, dass für jede gegen ${\displaystyle {}a}$ konvergente Folge der Grenzwert der Bildfolge gleich ist. Dies ergibt sich aber sofort, wenn man für zwei Folgen ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ und ${\displaystyle {}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ die Folge ${\displaystyle {}x_{0},y_{0},x_{1},y_{1},\ldots }$ betrachtet, die ebenfalls gegen ${\displaystyle {}a}$ konvergiert, und für die der Limes der Bildfolge mit den Limiten der Teilbildfolgen übereinstimmt.

Bestimme die Ableitung der Funktion

${\displaystyle \ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} .}$

Da der Logarithmus die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist, können wir Satz 18.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) anwenden und erhalten mit [[Reelle Exponentialfunktion/Ableitung/Fakt|Satz . (Analysis (Osnabrück 2021-2023))]]

${\displaystyle {}\ln '(x)={\frac {1}{\exp '(\ln x)}}={\frac {1}{\exp(\ln x)}}={\frac {1}{x}}\,.}$

Bestimme die Taylorentwicklung der Funktion

${\displaystyle {}f(x)={\frac {x^{2}-4x+5}{x-6}}\,}$

im Punkt ${\displaystyle {}a=-1}$ bis zum Grad ${\displaystyle {}\leq 2}$.

Die ersten beiden Ableitungen von ${\displaystyle {}f}$ sind

${\displaystyle {}{\begin{aligned}f'(x)&={\frac {(2x-4)(x-6)-(x^{2}-4x+5)}{(x-6)^{2}}}\\&={\frac {x^{2}-12x+19}{(x-6)^{2}}}\end{aligned}}}$

und

${\displaystyle {}{\begin{aligned}f^{\prime \prime }(x)&=\left({\frac {x^{2}-12x+19}{(x-6)^{2}}}\right)'\\&={\frac {(2x-12)(x-6)^{2}-2(x^{2}-12x+19)(x-6)}{(x-6)^{4}}}\\&=2{\frac {(x-6)^{2}-(x^{2}-12x+19)}{(x-6)^{3}}}\\&=2{\frac {17}{(x-6)^{3}}}\\&={\frac {34}{(x-6)^{3}}}.\end{aligned}}}$

Somit ist

${\displaystyle {}f(-1)={\frac {1+4+5}{-7}}=-{\frac {10}{7}}\,,}$

${\displaystyle {}f'(-1)={\frac {1+12+19}{(-7)^{2}}}={\frac {32}{49}}\,,}$

${\displaystyle {}f^{\prime \prime }(-1)={\frac {34}{(-7)^{3}}}=-{\frac {34}{343}}\,.}$

Somit ist die Taylorentwicklung in ${\displaystyle {}a=-1}$ bis zum Grad ${\displaystyle {}2}$ gleich

${\displaystyle -{\frac {10}{7}}+{\frac {32}{49}}(x+1)-{\frac {17}{343}}(x+1)^{2}.}$

Es sei

${\displaystyle {}P={\frac {1}{24}}X^{4}-{\frac {1}{2}}X^{2}+1\,.}$

1. Bestimme die kleinste positive Nullstelle von ${\displaystyle {}P}$.
2. Besteht ein Zusammenhang zwischen dieser Nullstelle und ${\displaystyle {}{\frac {\pi }{2}}}$?

1. Wir lösen die biquadratische Gleichung, indem wir mit ${\displaystyle {}24}$ multiplizieren und ${\displaystyle {}y=x^{2}}$ setzen. Es ist

   ${\displaystyle {}y^{2}-12y+24={\left(y-6\right)}^{2}-36+24={\left(y-6\right)}^{2}-12=0\,}$

   zu lösen, also ist

   ${\displaystyle {}y_{1,2}=\pm {\sqrt {12}}+6\,.}$

   Dies ist in jedem Fall positiv und die kleinere Lösung ist

   ${\displaystyle {}y=6-{\sqrt {12}}\,.}$

   Somit ist

   ${\displaystyle {}x={\sqrt {6-{\sqrt {12}}}}\,}$

   die kleinste Nullstelle des Ausgangspolynoms.

2. Da die Kosinusreihe gleich ${\displaystyle {}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}}$ ist, handelt es sich bei dem angegebenen Polynom um eine polynomiale Approximation der Kosinusfunktion. Da ${\displaystyle {}\pi /2}$ die kleinste positive Nullstelle des Kosinus ist, besteht ein gewisser Zusammenhang zwischen den beiden Zahlen.

Es sei

${\displaystyle {}f(x)=x^{2}-3x+2\,}$

und

${\displaystyle {}g(x)=2x+1\,.}$

1. Bestimme die Nullstellen von ${\displaystyle {}f}$.
2. Bestimme das globale Minimum von ${\displaystyle {}f}$.
3. Finde mit einer Genauigkeit von ${\displaystyle {}{\frac {1}{8}}}$ ein ${\displaystyle {}x\in [0,1]}$ mit

   ${\displaystyle {}f(x)=1\,.}$

4. Die Graphen zu ${\displaystyle {}f}$ und zu ${\displaystyle {}g}$ begrenzen eine endliche Fläche. Skizziere die Situation und berechne den Flächeninhalt der eingegrenzten Fläche.

1. Es sind ${\displaystyle {}1}$ und ${\displaystyle {}2}$ die Nullstellen von ${\displaystyle {}f}$.
2. Es ist

   ${\displaystyle {}f'(x)=2x-3\,}$

   mit der einzigen Nullstelle bei

   ${\displaystyle {}x={\frac {3}{2}}\,.}$

   Dort liegt das globale isolierte Minimum mit dem Wert

   ${\displaystyle {}f\left({\frac {3}{2}}\right)={\frac {9}{4}}-3\left({\frac {3}{2}}\right)+2=-{\frac {1}{4}}\,}$

   vor.

3. Es ist

   ${\displaystyle {}f(0)=2>1\,}$

   und

   ${\displaystyle {}f(1)=0<1\,,}$

   deshalb muss es nach dem Zwischenwertsatz eine Stelle geben, wo ${\displaystyle {}f}$ den Wert ${\displaystyle {}1}$ annimmt. Es ist

   ${\displaystyle {}f\left({\frac {1}{2}}\right)=\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}-3\cdot {\frac {1}{2}}+2={\frac {3}{4}}<1\,.}$

   Deshalb liegt die gesuchte Stelle in ${\displaystyle {}[0,{\frac {1}{2}}]}$. Es ist

   ${\displaystyle {}f\left({\frac {1}{4}}\right)=\left({\frac {1}{4}}\right)^{2}-3\cdot {\frac {1}{4}}+2={\frac {21}{16}}>1\,.}$

   Deshalb liegt die gesuchte Stelle in ${\displaystyle {}[{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}}]}$. Es ist

   ${\displaystyle {}f\left({\frac {3}{8}}\right)=\left({\frac {3}{8}}\right)^{2}-3\cdot {\frac {3}{8}}+2={\frac {65}{64}}>1\,.}$

   Deshalb liegt die gesuchte Stelle in ${\displaystyle {}[{\frac {3}{8}},{\frac {1}{2}}]}$.

4. Die Gleichsetzung der beiden Funktionen führt auf

   ${\displaystyle {}x^{2}-5x+1=0\,,}$

   was auf

   ${\displaystyle {}x_{1},x_{2}={\frac {5\pm {\sqrt {25-4}}}{2}}={\frac {5\pm {\sqrt {21}}}{2}}\,}$

   für die ${\displaystyle {}x}$-Koordinate der beiden Schnittpunkte führt. Im Folgenden sei ${\displaystyle {}x_{1}}$ der kleinere Wert. Der in Frage stehende Flächeninhalt ergibt sich, indem man von dem Flächeninhalt des durch ${\displaystyle {}g}$, der ${\displaystyle {}x}$-Achse und die vertikalen Achsen durch ${\displaystyle {}x_{1}}$ und ${\displaystyle {}x_{2}}$ begrenzten Vierecks ${\displaystyle {}V}$ die Flächeninhalte unterhalb von ${\displaystyle {}f}$ zwischen ${\displaystyle {}x_{1}}$ und ${\displaystyle {}1}$ und zwischen ${\displaystyle {}2}$ und ${\displaystyle {}x_{2}}$ abzieht und den Flächeninhalt der Fläche oberhalb von ${\displaystyle {}f}$ zwischen ${\displaystyle {}1}$ und ${\displaystyle {}2}$ dazuaddiert. Der Flächeninhalt des Vierecks ist

   ${\displaystyle {}(x_{2}-x_{1}){\frac {g(x_{1})+g(x_{2})}{2}}={\frac {5+{\sqrt {21}}-5+{\sqrt {21}}}{2}}\cdot {\frac {12}{2}}=6{\sqrt {21}}\,.}$

   Eine Stammfunktion zu ${\displaystyle {}f}$ ist

   ${\displaystyle {}F(x)={\frac {1}{3}}x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+2x\,.}$

   die relevanten Werte sind

   ${\displaystyle {}F(1)={\frac {1}{3}}-{\frac {3}{2}}+2={\frac {5}{6}}\,,}$

   ${\displaystyle {}F(2)={\frac {8}{3}}-6+4={\frac {2}{3}}\,,}$

   ${\displaystyle {}{\begin{aligned}F(x_{1})&={\frac {1}{3}}\left({\frac {5-{\sqrt {21}}}{2}}\right)^{3}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {5-{\sqrt {21}}}{2}}\right)^{2}+2\left({\frac {5-{\sqrt {21}}}{2}}\right)\\&={\frac {1}{3}}\left({\frac {125-75{\sqrt {21}}+15\cdot 21-21{\sqrt {21}}}{8}}\right)-{\frac {3}{2}}\left({\frac {25-10{\sqrt {21}}+21}{4}}\right)+5-{\sqrt {21}}\\&={\frac {1}{3}}\left({\frac {440-96{\sqrt {21}}}{8}}\right)-{\frac {3}{2}}\left({\frac {46-10{\sqrt {21}}}{4}}\right)+5-{\sqrt {21}}\\&={\frac {1}{3}}{\left(55-12{\sqrt {21}}\right)}-3\left({\frac {23-5{\sqrt {21}}}{4}}\right)+5-{\sqrt {21}}\\&={\frac {55}{3}}-{\frac {69}{4}}+5+{\left(-4+{\frac {15}{4}}-1\right)}{\sqrt {21}}\\&={\frac {73}{12}}-{\frac {5}{4}}{\sqrt {21}},\,\end{aligned}}}$

   ${\displaystyle {}{\begin{aligned}F(x_{2})&={\frac {1}{3}}\left({\frac {5+{\sqrt {21}}}{2}}\right)^{3}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {5+{\sqrt {21}}}{2}}\right)^{2}+2\left({\frac {5+{\sqrt {21}}}{2}}\right)\\&={\frac {1}{3}}\left({\frac {125+75{\sqrt {21}}+15\cdot 21+21{\sqrt {21}}}{8}}\right)-{\frac {3}{2}}\left({\frac {25+10{\sqrt {21}}+21}{4}}\right)+5+{\sqrt {21}}\\&={\frac {1}{3}}\left({\frac {440+96{\sqrt {21}}}{8}}\right)-{\frac {3}{2}}\left({\frac {46+10{\sqrt {21}}}{4}}\right)+5+{\sqrt {21}}\\&={\frac {1}{3}}{\left(55+12{\sqrt {21}}\right)}-3\left({\frac {23+5{\sqrt {21}}}{4}}\right)+5+{\sqrt {21}}\\&={\frac {55}{3}}-{\frac {69}{4}}+5+{\left(4-{\frac {15}{4}}+1\right)}{\sqrt {21}}\\&={\frac {73}{12}}+{\frac {5}{4}}{\sqrt {21}}.\,\end{aligned}}}$

   Der gesuchte Flächeninhalt ist

   ${\displaystyle {}{\begin{aligned}A&=6{\sqrt {21}}-(F(1)-F(x_{1}))+\vert {F(2)-F(1)}\vert -(F(x_{2})-F(2))\\&=6{\sqrt {21}}-F(1)+F(x_{1})+F(1)-F(2)-F(x_{2})+F(2)\\&=6{\sqrt {21}}+F(x_{1})-F(x_{2})\\&=6{\sqrt {21}}+{\frac {73}{12}}-{\frac {5}{4}}{\sqrt {21}}-{\frac {73}{12}}-{\frac {5}{4}}{\sqrt {21}}\\&={\frac {7}{2}}{\sqrt {21}}.\end{aligned}}}$

Bestimme eine Stammfunktion zu

${\displaystyle {}f(x)=x^{2}\ln x\,}$

auf ${\displaystyle {}\mathbb {R} _{+}}$.

Mit partieller Integration erhält man die Beziehung

${\displaystyle {}\int _{a}^{b}x^{2}\ln xdx=\left({\frac {1}{3}}x^{3}\ln x\right)|_{a}^{b}-\int _{a}^{b}{\frac {1}{3}}x^{2}dx\,}$

und daher ist

${\displaystyle {\frac {1}{3}}x^{3}\ln x-{\frac {1}{9}}x^{3}}$

eine Stammfunktion zu ${\displaystyle {}f}$.

Bestimme die konstanten Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung

${\displaystyle {}y'={\frac {\cos \left(\cos t^{2}\right)-e^{t^{3}}}{(t^{4}+9)e^{-t^{2}}+{\sqrt {t^{4}+e^{t}}}}}{\left(y^{2}-y-3\right)}\,}$

Es liegt eine Differentialgleichung

${\displaystyle {}y'=g(t)h(y)\,}$

mit getrennten Variablen vor, für die konstanten Lösungen sind nur die Nullstellen von ${\displaystyle {}h(y)=y^{2}-y-3}$ relevant. Diese sind

${\displaystyle {}y={\frac {\pm {\sqrt {13}}+1}{2}}\,.}$

Somit sind die konstanten Lösungen gleich

${\displaystyle {}y(t)={\frac {{\sqrt {13}}+1}{2}}\,}$

und

${\displaystyle {}y(t)={\frac {-{\sqrt {13}}+1}{2}}\,.}$