Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Arbeitsblatt 76/latex
\setcounter{section}{76}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{}
und
\maabbdisp {\alpha} { U } { V
} {}
eine Karte
\zusatzklammer {also
\mathl{U \subseteq M}{} und
\mathl{V \subseteq \R^n}{} offen} {} {.}
Zeige, dass $\alpha$ ein
\definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeiten}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} { M } { N
} {}
eine Abbildung. Es sei
\mathl{M= \bigcup_{i \in I} U_i}{} eine
\definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{}
von $M$. Zeige, dass $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
ist, wenn alle Einschränkungen
\mathl{\varphi_i= \varphi {{|}}_{U_i }}{} differenzierbar sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} und
\maabbdisp {f,g} { M } {\R
} {}
\definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{} auf $M$. Beweise die folgenden Aussagen. \aufzaehlungvier{Die Abbildung
\maabbeledisp {f \times g} { M } {\R^2
} { x } {(f(x),g(x))
} {,} ist differenzierbar.
}{ $f+g$ ist
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{.}
}{ $f \cdot g$ ist
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{.}
}{Wenn $f$ keine Nullstelle besitzt, so ist auch
\mathl{f^{-1}}{} differenzierbar.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien \mathkor {} {M} {und} {N} {} \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeiten}{}{} und \maabbdisp {\varphi} { M } { N } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{.} Zeige, dass dies einen \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {\varphi^*} {C^1(N,\R)} {C^1(M,\R) } { f } {f \circ \varphi } {,} induziert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass zu
\mathl{m \leq n}{} die Einbettung des Unterraumes
\mathl{\R^m}{} in den $\R^n$, die durch
\mathl{(x_1 , \ldots , x_m) \mapsto (x_1 , \ldots , x_m,0 , \ldots , 0)}{} gegeben ist,
\definitionsverweis {beliebig oft differenzierbar}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die offene Zylinderoberfläche
\mathl{S^1 \times {]0,1[}}{} zu
\mathl{S^1 \times \R}{,} zur punktierten Ebene
\mathl{\R^2 \setminus \{(0,0)\}}{} und zu
\mathl{S^2 \setminus \{N,S\}}{}
\definitionsverweis {diffeomorph}{}{}
ist.
}
{} {}
Die nächste Aufgabe verwendet folgende Definition.
Eine Funktion
\maabbdisp {f} { {\mathbb K}^n } { {\mathbb K}
} {}
heißt
\definitionswort {homogen vom Grad}{}
$d$, wenn für jeden Punkt
\mathl{P \in {\mathbb K}^n}{} und jedes
\mathl{\lambda \in {\mathbb K}}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(\lambda P)
}
{ =} { \lambda^d f(P)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {\R^n } {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} \definitionsverweis {homogene Funktion}{}{,}
die in der
\definitionsverweis {Faser}{}{}
$F$ über
\mathl{a \neq 0}{}
\definitionsverweis {regulär}{}{}
sei. Zeige, dass jede Faser zu
\mathl{b \neq 0}{} eine zu $F$
\definitionsverweis {diffeomorphe}{}{} \definitionsverweis {Mannigfaltigkeit}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{]a,b[}{} ein
\definitionsverweis {offenes Intervall}{}{}
und
\maabbdisp {f} {]a,b[} {\R_{+}
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{.}
Es sei $M$ die Oberfläche des zugehörigen Rotationskörpers. Zeige, dass diese Menge eine zu einem offenen Zylinder diffeomorphe Mannigfaltigkeit ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine Ellipsoidoberfläche und die Einheitssphäre $C^\infty$-\definitionsverweis {diffeomorph}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe ein Beispiel einer
\definitionsverweis {zweidimensionalen}{}{}
\definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{} \definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeit}{}{}
$M$ und einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass
\mathkor {} {M} {und} {M \setminus \{P\}} {}
zueinander
\definitionsverweis {diffeomorph}{}{}
sind.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
In der folgenden Aufgabe interpretiere man ${\mathbb C}$ als $\R^2$.
\inputaufgabe
{4}
{
Wir betrachten die Abbildung
\maabbeledisp {} { {\mathbb C}^2} { {\mathbb C}
} {(z,w)} { zw
} {.}
Für welche Punkte
\mathl{u \in {\mathbb C}}{} ist die Faser über $u$ eine Mannigfaltigkeit? Man gebe jeweils eine möglichst einfache Beschreibung des Diffeomorphietyps.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Es seien zwei Punkte \mathkor {} {P} {und} {Q} {} auf der \definitionsverweis {Einheitssphäre}{}{} gegeben. Zeige, dass es einen \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} der Sphäre in sich gibt, der $P$ in $Q$ überführt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4 (1+1+2)}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{.}
Zu jeder offenen Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
betrachten wir die Menge
\mathl{C^1(U,\R)}{} der
\definitionsverweis {differenzierbaren Funktionen}{}{}
auf $U$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{.}
\aufzaehlungdreiabc{Zeige, dass zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ \subseteq }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
offen und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ C^1(U,\R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auch die
\definitionsverweis {Einschränkung}{}{}
$f {{|}}_V$ zu
\mathl{C^1(V,\R)}{} gehört.
}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ C^1(M,\R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann ist, wenn sämtliche Einschränkungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f {{|}}_{U_i }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind.
}{Es sei eine Familie
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_i
}
{ \in }{ C^1(U_i,\R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von Funktionen gegeben, die die \anfuehrung{Verträglichkeitsbedingung}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_i {{|}}_{U_i \cap U_j }
}
{ =} { f_j {{|}}_{U_i \cap U_j }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $i,j$ erfüllen. Zeige, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ C^1(M,\R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f {{|}}_{U_i }
}
{ = }{ f_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $i$.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{,} die mindestens zwei Elemente besitze. Zeige, dass es
\definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{}
\maabbdisp {f,g} { M } {\R
} {} gibt mit
\mathl{f,g \neq 0}{,} aber
\mathl{fg=0}{.}
}
{} {}
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