Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 20/latex
\setcounter{section}{20}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{ \bildeinlesungjpg {Diciembre} {jpg} }
\end{center}
\bildtext {Gar nicht mehr lange! Wir wünschen schon jetzt frohe Weihnachten!} }
\bildlizenz { Diciembre.jpg } {} {Lumentzaspi} {Commons} {PD} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien \maabbdisp {f,g} { I } {\R } {} \definitionsverweis {konvexe Funktionen}{}{.} Zeige, dass die Summe $f+g$ ebenfalls konvex ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {f} { I } {\R } {} eine \definitionsverweis {Funktion}{}{.} Zeige, dass $f$ genau dann konvex ist, wenn $-f$ konkav ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien \maabbdisp {f,g} { I } {\R } {} \definitionsverweis {konvexe Funktionen}{}{.} Zeige durch Beispiele, dass die Differenz $f-g$ konvex oder konkav sein kann, aber weder konvex noch konkav sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien \maabbdisp {f,g} { I } {\R } {} \definitionsverweis {konvexe Funktionen}{}{.} Zeige durch Beispiele, dass das Produkt $fg$ konvex oder konkav sein kann, aber weder konvex noch konkav sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} { I } {\R
} {}
eine stetige Funktion auf einem Intervall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $f$ genau dann konvex ist, wenn für jedes Punktepaar
\mathkor {} {(a,f(a))} {und} {(b,f(b))} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Verbindungsstrecke oberhalb des Graphen von $f$ verläuft.
}
{(Bemerkung: Eine konvexe Funktion auf einem offenen Intervall ist übrigens immer stetig.)} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $I \subseteq \R$ ein Intervall und
\maabbdisp {f} { I } {\R
} {}
eine zweimal
\definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{.}
Zeige, dass $f$ genau dann eine konvexe Funktion ist, wenn für die zweite Ableitung
\mathl{f^{\prime \prime}(x) \geq 0}{} für alle
\mathl{x \in I}{} gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $f \in \R[X]$ ein Polynom mit ungeradem Grad
\mathl{\geq 3}{.} Zeige, dass $f$ weder konvex noch konkav sein kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $\sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n }$ eine \definitionsverweis {Potenzreihe}{}{} mit \definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{} $R>0$. Zeige, dass der Konvergenzradius der Reihe $\sum_{n=1}^\infty na_n z^{n-1}$ ebenfalls $R$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } { z } { z^2 \cdot \exp \left( z^3-4z \right) } {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {f} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} { x } {f(x) = xe^{x}
} {.}
Zeige durch Induktion, dass die $n$-te Ableitung
\zusatzklammer {\mathlk{n \geq 1}{}} {} {}
von $f$ gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f^{(n)}(x)
}
{ =} { { \left( x+n \right) } e^{x}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbdisp {\ln} {\R_+} {\R } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Eine Währungsgemeinschaft habe eine Inflation von jährlich $2 \%$. Nach welchem Zeitraum \zusatzklammer {in Jahren und Tagen} {} {} haben sich die Preise verdoppelt?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme den Grenzwert
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow 1 } \, { \frac{ x-1 }{ \ln x } }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow 0 } \, { \frac{ \ln (x+1) }{ \sin \left( 2 x \right) } }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} { x } {f(x)
} {,}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{}
mit den Eigenschaften
\mathdisp {f'=f \text{ und } f(0)=1} { . }
Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{ \exp x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabb {f} { I } {\R_+
} {}
eine auf einem offenen Intervall definierte Funktion. Wir interessieren uns für den
\definitionsverweis {Limes}{}{}
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ h \rightarrow 0 } \, { \left( { \frac{ f(x+h) }{ f(x) } } \right) }^{ \frac{ 1 }{ h } }} { }
zu einem Punkt
\mathl{x \in I}{.}
\aufzaehlungdrei{Bestimme diesen Limes für die Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { a^x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem
\mathl{a \in \R_+}{.}
}{Es sei $f$ in
\mathl{x \in I}{}
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ h \rightarrow 0 } \, { \left( { \frac{ f(x+h) }{ f(x) } } \right) }^{ \frac{ 1 }{ h } }
}
{ =} { \exp \left( { \frac{ f'(x) }{ f(x) } } \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
}{Überprüfe das Ergebnis aus (1) mit Hilfe der Formel aus (2).
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne bis auf drei Nachkommastellen den Wert von $e^{ \mathrm i}$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der Sinus- und der \definitionsverweis {Kosinusfunktion}{}{} über ihre Potenzreihen \zusatzklammer {Satz 20.9} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der Sinus- und der \definitionsverweis {Kosinusfunktion}{}{} unter Verwendung von Satz 15.10 (4).
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die $1034871$-te \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Sinusfunktion}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {\R_+} {\R } { x } {f(x) = \cos ( \ln x ) } {.}
a) Bestimme die Ableitung $f'$.
b) Bestimme die zweite Ableitung $f^{\prime \prime}$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } { z } { ( \sin z )( \cos z ) } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für $n \in \N$ die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } { z } { (\sin z )^n } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $\sum _{ n= 0}^\infty c _n (z-a)^{ n }$ eine \definitionsverweis {konvergente Potenzreihe}{}{.} Bestimme die \definitionsverweis {Ableitungen}{}{} $f^{(k)}(a)$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der \definitionsverweis {Funktionslimes}{}{} existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt. \aufzaehlungvier{ $\operatorname{lim}_{ x \rightarrow 0 } \, \frac{ \sin x }{x}$, }{ $\operatorname{lim}_{ x \rightarrow 0 } \, \frac{ (\sin x)^2 }{x}$, }{ $\operatorname{lim}_{ x \rightarrow 0 } \, \frac{ \sin x }{x^2}$, }{ $\operatorname{lim}_{ x \rightarrow 1 } \, \frac{x-1}{ \ln x }$. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für die folgenden Funktionen, ob der
\definitionsverweis {Funktionslimes}{}{}
für
\mathbed {x \in \R \setminus \{0\}} {}
{x \rightarrow 0} {}
{} {} {} {,}
existiert und welchen Wert er gegebenenfalls annimmt.
\aufzaehlungdrei{ $\sin \frac{1}{x}$,
}{ $x \cdot \sin \frac{1}{x}$,
}{ $\frac{1}{x} \cdot \sin \frac{1}{x}$.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow 1 } \, { \frac{ ( x-1)^\alpha }{ \ln x } }} { }
in Abhängigkeit von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \alpha
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{ \bildeinlesungsvg {Sinh-cosh-r-28pt} {svg} }
\end{center}
\bildtext {Der Verlauf der Hyperbelfunktionen im Reellen.} }
\bildlizenz { Sinh-cosh-r-28pt.svg } {} {Emdee} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
Die für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sinh z
}
{ \defeq} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( e^z - e^{-z} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierte
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
heißt \definitionswort {Sinus hyperbolicus}{.}
Die für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cosh z
}
{ \defeq} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( e^z + e^{-z} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierte
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
heißt \definitionswort {Kosinus hyperbolicus}{.}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige die folgenden Eigenschaften von
\definitionsverweis {Sinus hyperbolicus}{}{}
und
\definitionsverweis {Kosinus hyperbolicus}{}{}
\zusatzklammer {dabei ist
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ z
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
\aufzaehlungfuenf{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cosh z+ \sinh z
}
{ =} { e^z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cosh z - \sinh z
}
{ =} { e^{-z}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( \cosh z )^2 - ( \sinh z )^2
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cosh { \mathrm i} z
}
{ =} { \cos z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sinh { \mathrm i} z
}
{ =} { { \mathrm i} \cdot \sin z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Ableitungen}{}{} von \definitionsverweis {Sinus hyperbolicus}{}{} und \definitionsverweis {Kosinus hyperbolicus}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise die Additionstheoreme für die
\definitionsverweis {Hyperbelfunktionen}{}{,}
also
\aufzaehlungzweiabc{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sinh (x + y)
}
{ =} { \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cosh(x + y)
}
{ =} {\cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass der \definitionsverweis {Sinus hyperbolicus}{}{} auf $\R$ \definitionsverweis {streng wachsend}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der \definitionsverweis {Kosinus hyperbolicus}{}{} auf $\R_{\leq 0}$ \definitionsverweis {streng fallend}{}{} und auf $\R_{\geq 0}$ \definitionsverweis {streng wachsend}{}{} ist.
}
{} {}
Aufgrund dieser beiden Aufgaben gibt es Umkehrfunktionen, die man \stichwort {Areasinus hyperbolicus} {} bzw. \stichwort {Areakosinus hyperbolicus} {} nennt.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass für
\mathbed {x \in \R} {}
{x \geq 1} {}
{} {} {} {,}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \, \operatorname{arcosh} \, x \,
}
{ =} { \ln { \left( x+\sqrt{x^2-1} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Die Weihnachtsaufgabe für die ganze Familie}
\inputaufgabe
{}
{
Welches Bildungsgesetz liegt der Folge
\mathdisp {1,\,11,\, 21,\, 1211,\, 111221,\, 312211,\, ...} { }
zugrunde?
}
{} {(Es wird behauptet, dass diese Aufgabe für Grundschulkinder sehr einfach und für Mathematiker sehr schwierig ist.)}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\maabbdisp {f} { I } {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {konvexe Funktion}{}{,}
seien $x_1 , \ldots , x_n \in I$ und $t_1 , \ldots , t_n \in \R_{\geq 0}$ mit $\sum_{i=1}^n t_i=1$. Zeige die Jensensche Ungleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f { \left( \sum_{i=1}^n t_i x_i \right) }
}
{ \leq} { \sum_{i=1}^n t_i f (x_i)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Konvexitätsverhalten}{}{}
und die
\definitionsverweis {Wendepunkte}{}{}
der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { 2x^4-x^3-3x^2+7x+5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {ungerade Funktion}{}{,} die nicht linear sei. Zeige, dass $f$ weder konvex noch konkav sein kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } { z } { \sin \left( \cos z \right) } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R_+ } {\R } { x } { x^x } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Wir betrachten die Abbildung \maabbdisp {f} {\N} {\N } {,} die dem Bildungsgesetz aus Aufgabe 20.34 entspricht \zusatzklammer {die natürlichen Zahlen sind dabei als endliche Ziffernfolgen im Zehnersystem zu verstehen} {} {.} \aufzaehlungvier{Ist $f$ wachsend? }{Ist $f$ surjektiv? }{Ist $f$ injektiv? }{Besitzt $f$ einen \definitionsverweis {Fixpunkt}{}{?} }
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Die Weihnachtsaufgabe}
\inputaufgabe
{10}
{
Wir betrachten die Abbildung
\maabbdisp {f} {\N} {\N
} {,}
die dem Bildungsgesetz aus
Aufgabe 20.34
entspricht. Unter einem
\betonung{Zykel}{} von
\mathl{f}{} der Länge $n$ verstehen wir ein
\mathl{x \in \N}{} derart, dass
\mathl{f^n(x) =x}{} (
\mathl{f^n}{} bezeichnet die
\mathl{n}{-}te Hintereinanderschaltung von
\mathl{f}{} mit sich selbst) und
\mathl{f^{i}(x) \neq x}{} ist für
\mathl{i=1,2 , \ldots , n-1}{.} Besitzt $f$ Zykel der Länge
\mathl{n \geq 2}{?}
}
{(Diese Aufgabe ist gesondert abzugeben, die Deckelregel findet für sie keine Anwendung.)} {}
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