Kurs:Analysis III/Kapitel V: Potenzialtheorie und Kugelfunktionen

Mit

bezeichnen wir die Gammafunktion.

Sei ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n},n\geq 2}$ eine offene Menge, so nennen wir die Funktion ${\displaystyle \varphi =\varphi (x)\in C^{2}(\Omega ,\mathbb {R} )}$ harmonisch in ${\displaystyle \Omega }$, falls sie der Laplaceschen Differentialgleichung

genügt.

Ein Gebiet ${\displaystyle G\subset \mathbb {R} ^{n}}$, das den Voraussetzungen des Gaußschen Satzes aus Kapitel I, §5 genügt, nennen wir ein Normalgebiet im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Sei ${\displaystyle G\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ein Normalgebiet. Wir erklären die Funktion

bzw.

Hierbei ist für jedes feste ${\displaystyle x\in G}$ die Funktion ${\displaystyle \psi (\cdot ;x)}$ mit ${\displaystyle y\mapsto \psi (y;x)}$ harmonisch in ${\displaystyle G}$ sowie aus der Klasse ${\displaystyle C^{1}({\overline {G}})}$ und es ist ${\displaystyle \psi \in C^{0}({\overline {G}}\times {\overline {G}})}$. Dann nennen wir ${\displaystyle \varphi (y;x)}$ eine Grundlösung der Laplacegleichung in ${\displaystyle G}$.

Eine Funktion ${\displaystyle \varphi =\varphi (x_{1},\ldots ,x_{n}):\Omega \to \mathbb {R} }$ auf der offenen Menge ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ nennen wir reell analytisch in ${\displaystyle \Omega }$, wenn es für jeden Punkt ${\displaystyle {\stackrel {\circ }{x}}=\left({\stackrel {\circ }{x}}_{1},\ldots ,{\stackrel {\circ }{x}}_{n}\right)\in \Omega }$ eine für hinreichend kleines ${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon \left({\stackrel {\circ }{x}}\right)>0}$ konvergente Potenzreihe

mit den reellen Koeffizienten ${\displaystyle a_{k_{1}\ldots k_{n}}\in \mathbb {R} }$ für ${\displaystyle k_{1},\ldots ,k_{n}=0,1,2,\ldots }$ so gibt, dass

erfüllt ist.

In der offenen Menge ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n},n\geq 2}$ sei die reell analytische Funktion ${\displaystyle f=f(x_{1},\ldots ,x_{n}):\Omega \to \mathbb {R} }$ gegeben. Ferner sei ${\displaystyle u=u(x_{1},\ldots ,x_{n})\in C^{2}(\Omega )}$ eine Lösung der Poissonschen Differentialgleichung

Dann ist ${\displaystyle u(x)}$ reell analytisch in ${\displaystyle \Omega }$.

Sei ${\displaystyle {\stackrel {\circ }{x}}\in \Omega }$ und ${\displaystyle B_{R}\left({\stackrel {\circ }{x}}\right)\subset \subset \Omega }$, so stellen wir die Lösung ${\displaystyle u}$ durch die Grundlösung ${\displaystyle \varphi }$ dar als

mit ${\displaystyle x\in B_{R}\left({\stackrel {\circ }{x}}\right)}$. Nun stellt das erste Integral auf der rechten Seite eine um den Punkt ${\displaystyle {\stackrel {\circ }{x}}}$ reell analytische Funktion dar. Es wurde gezeigt, dass auch das zweite Integral eine um den Punkt ${\displaystyle {\stackrel {\circ }{x}}}$ reell analytische Funktion liefert.

q.e.d.

In einem Normalgebiet ${\displaystyle G\subset \mathbb {R} ^{n}}$ sei eine Grundlösung ${\displaystyle \varphi =\varphi (y;x)}$ gegeben. Diese nennen wir Greensche Funktion für das Gebiet ${\displaystyle G}$, falls für alle ${\displaystyle x\in G}$ die Randbedingung

erfüllt ist.

In der Kugel ${\displaystyle B_{R}:=\{y\in \mathbb {R} ^{n}:|y|<R\}}$ vom Radius ${\displaystyle R\in (0,+\infty )}$ im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},n\geq 2}$ löse die Funktion ${\displaystyle u=u(x)=u(x_{1},\ldots ,x_{n})\in C^{2}(B_{R})\cap C^{0}({\overline {B}}_{R})}$ die Poissonsche Differentialgleichung

mit der rechten Seite ${\displaystyle f=f(x)\in C^{0}({\overline {B}}_{R})}$. Dann gilt für alle ${\displaystyle x\in B_{R}}$ die Poissonsche Integraldarstellung

Dabei ist ${\displaystyle \varphi =\varphi (y;x)}$ die Greensche Funktion

1. Wir setzen zunächst ${\displaystyle u\in C^{2}({\overline {B}}_{R})}$ voraus. Dann gilt die Identität

Wir beschränken uns zunächst auf den Fall ${\displaystyle n\geq 3}$. Dann haben wir als Greensche Funktion

Ist nun ${\displaystyle x\in B_{R}}$ fest und ${\displaystyle y\in \partial B_{R}}$ beliebig, so berechnen wir

Diese Formel bleibt auch für ${\displaystyle n=2}$ richtig, wobei dann ${\displaystyle K=1}$ erfüllt ist. Wir beachten noch

bzw.

Es folgt schließlich

Wir erhalten somit die Poissonsche Integraldarstellung

2. Ist nun ${\displaystyle u\in C^{2}(B_{R})\cap C^{0}({\overline {B}}_{R})}$, so gilt nach Teil 1 des Beweises für alle ${\displaystyle \varrho \in (0,R)}$ die Identität

wobei ${\displaystyle \varphi (y;x,\varrho )}$ die Greensche Funktion für ${\displaystyle B_{\varrho }}$ bezeichnet. Für ${\displaystyle \varrho \to R}$ erhalten wir dann

für alle ${\displaystyle x\in B_{R}}$.

q.e.d.

Die Funktion ${\displaystyle u(x)\in C^{2}(B_{R})}$ sei in der Kugel ${\displaystyle B_{R}=\{y\in \mathbb {R} ^{n}:|y|<R\}}$ mit ${\displaystyle R\in (0,+\infty )}$ harmonisch und es gelte ${\displaystyle u(x)\geq 0}$ für alle ${\displaystyle x\in B_{R}}$. Dann folgt

Wir nehmen zunächst ${\displaystyle u\in C^{2}({\overline {B}}_{R})}$ an und können dann durch Grenzübergang die Ungleichung auch für Funktionen ${\displaystyle u\in C^{2}(B_{R})}$ beweisen . Satz 1 entnehmen wir

Für beliebige ${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{n}}$ mit ${\displaystyle |y|=R}$ und ${\displaystyle x\in B_{R}}$ ist die folgende Ungleichung erfüllt:

Multiplizieren wir diese Ungleichung mit ${\displaystyle {\frac {1}{R\omega _{n}}}u(y)}$ und integrieren anschließend über ${\displaystyle \partial B_{R}}$, so folgt

Die Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen ausnutzend erhalten wir nun

bzw.

Hieraus ergibt sich

q.e.d.

Sei ${\displaystyle u(x):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ eine harmonische Funktion, welche ${\displaystyle u(x)\leq M}$ für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ mit einer Konstante ${\displaystyle M\in \mathbb {R} }$ erfüllt. Dann folgt ${\displaystyle u(x)\equiv \operatorname {const} ,x\in \mathbb {R} ^{n}}$.

Wir betrachten die harmonische Funktion ${\displaystyle v(x):=M-u(x),x\in \mathbb {R} ^{n}}$ und stellen ${\displaystyle v(x)\geq 0}$ für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ fest. Die Harnacksche Ungleichung liefert somit

Für ${\displaystyle R\to +\infty }$ erhalten wir ${\displaystyle v(x)=v(0)}$ für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ und damit ${\displaystyle u(x)\equiv \operatorname {const} ,x\in \mathbb {R} ^{n}}$.

q.e.d.

Sei ${\displaystyle G\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ein Gebiet und ${\displaystyle u=u(x)=u(x_{1},\ldots ,x_{n}):G\to \mathbb {R} \in C^{0}(G)}$ eine stetige Funktion. Wir nennen ${\displaystyle u}$ schwach harmonisch (superharmonisch, subharmonisch), falls

für alle ${\displaystyle a\in G}$ und ${\displaystyle r\in (0,\vartheta (a))}$ mit einem gewissen ${\displaystyle \vartheta (a)\in (0,\operatorname {dist} \,(a,\mathbb {R} ^{n}\setminus G)]}$ richtig ist.

Eine im Gebiet ${\displaystyle G\subset \mathbb {R} ^{n}}$ superharmonische (subharmonische) Funktion ${\displaystyle u=u(x):G\to \mathbb {R} }$ nehme in einem Punkt ${\displaystyle {\stackrel {\circ }{x}}\in G}$ ihr globales Minimum (Maximum) an, d. h. es gilt

Dann folgt

Da durch ${\displaystyle u\to -u}$ subharmonische Funktionen in superharmonische übergehen, ist die Aussage nur für superharmonische Funktionen zu zeigen. Nun nehme die superharmonische Funktion ${\displaystyle u:G\to \mathbb {R} \in C^{0}(G)}$ ihr globales Minimum in einem Punkt ${\displaystyle {\stackrel {\circ }{x}}\in G}$ an. Wir betrachten dann die nicht leere Menge

welche in ${\displaystyle G}$ abgeschlossen ist. Wir zeigen nun, dass ${\displaystyle G^{*}}$ auch offen ist. Ist nämlich ${\displaystyle a\in G^{*}}$ ein beliebiger Punkt, so haben wir

Somit folgt ${\displaystyle u(x)=u(a)}$ für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ mit ${\displaystyle |x-a|<\vartheta (a)}$. Folglich ist ${\displaystyle G^{*}}$ offen. Da nun ${\displaystyle G}$ ein Gebiet ist, sieht man durch Fortsetzung leicht ${\displaystyle u(x)\equiv u({\stackrel {\circ }{x}})}$ für alle ${\displaystyle x\in G}$ ein, d. h. es gilt ${\displaystyle u(x)\equiv \operatorname {const} ,x\in G}$.

q.e.d.

Seien ${\displaystyle u(x),v(x)}$ zwei Lösungen des Dirichletproblems bei gegebenem ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle f}$. Dann folgt

Die Funktion ${\displaystyle w(x):=v(x)-u(x),x\in {\overline {G}}}$ gehört zur Klasse ${\displaystyle C^{2}(G)\cap C^{0}({\overline {G}})}$, ist insbesondere schwach harmonisch in ${\displaystyle G}$ und hat die Randwerte

Es folgt ${\displaystyle w(x)\equiv 0}$ in ${\displaystyle {\overline {G}}}$ bzw.

q.e.d.

In einem Gebiet ${\displaystyle G\subset \mathbb {R} ^{n}}$ sei die schwach harmonische Funktion ${\displaystyle u=u(x):G\to \mathbb {R} \in C^{0}(G)}$ gegeben. Dann ist ${\displaystyle u}$ reell analytisch in ${\displaystyle G}$ und genügt der Laplacegleichung ${\displaystyle \Delta u(x)=0}$ für alle ${\displaystyle x\in G}$.

Sei ${\displaystyle a\in G}$ beliebig gewählt, so betrachten wir zu geeignetem ${\displaystyle R\in (0,+\infty )}$ die Kugel ${\displaystyle B_{R}(a)\subset \subset G}$. In dieser Kugel lösen wir das Dirichletproblem

Es gilt nun ${\displaystyle u(x)\equiv v(x)}$ in ${\displaystyle {\overline {B_{R}(a)}}}$. Somit gilt ${\displaystyle u\in C^{2}(G)}$ und ${\displaystyle \Delta u(x)=0}$ für alle ${\displaystyle x\in G}$. Nach §1, Satz 1 ist ferner ${\displaystyle u}$ reell analytisch in ${\displaystyle G}$.

Sei ${\displaystyle G\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ein beschränktes Gebiet und ${\displaystyle u=u(x):G\to \mathbb {R} \in C^{0}(G)}$ eine stetige Funktion. Dann erklären wir die harmonisch abgeänderte Funktion

für alle ${\displaystyle a\in G}$ und ${\displaystyle R\in (0,\operatorname {dist} \,(a,\mathbb {R} ^{n}\setminus G))}$.

Sei ${\displaystyle G\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ein beschränktes Gebiet. Einen Randpunkt ${\displaystyle x\in \partial G}$ nennen wir regulär, wenn es eine superharmonische Funktion ${\displaystyle \Phi (y)=\Phi (y;x):G\to \mathbb {R} }$ mit

und

für alle ${\displaystyle \varepsilon >0}$ gibt. Ist jeder Randpunkt von ${\displaystyle G}$ regulär, so sprechen wir von einem Dirichletgebiet.

Sei ${\displaystyle G\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ein beschränktes Gebiet mit ${\displaystyle n\geq 2}$. Dann ist das Dirichletproblem

für alle stetigen Randfunktionen ${\displaystyle f:\partial G\to \mathbb {R} }$ genau dann lösbar, wenn ${\displaystyle G}$ im Sinne von Definition 2 ein Dirichletgebiet ist.

„${\displaystyle \Rightarrow }$“ Das Dirichletproblem sei für alle stetigen ${\displaystyle f:\partial G\to \mathbb {R} }$ lösbar. Ist nun ${\displaystyle \xi \in \partial G}$ beliebig, so wählen wir ${\displaystyle f(y):=|y-\xi |,y\in \partial G}$ und lösen zu diesen Randwerten das Dirichletproblem (2). Für die harmonische Funktion ${\displaystyle u=u(x):{\overline {G}}\to \mathbb {R} }$ folgt nach dem Minimumprinzip

Somit ist ${\displaystyle \xi }$ ein regulärer Randpunkt.

„${\displaystyle \Leftarrow }$“ Sei ${\displaystyle G}$ ein Dirichletgebiet und ${\displaystyle x\in \partial G}$ ein beliebiger, regulärer Randpunkt. Dann gibt es eine zugehörige superharmonische Funktion ${\displaystyle \Phi (y)=\Phi (y;x):G\to \mathbb {R} }$ gemäß Definition 2. Da ${\displaystyle f:\partial G\to \mathbb {R} }$ stetig ist, existiert zu vorgegebenem ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ein ${\displaystyle \delta =\delta (\varepsilon )>0}$mit ${\displaystyle |f(y)-f(x)|\leq \varepsilon }$ für alle ${\displaystyle y\in \partial G}$ mit ${\displaystyle |y-x|\leq \delta }$. Wir erklären nun

1. Die obere Barrierefunktion

sei gegeben. Offenbar ist ${\displaystyle v^{+}}$ superharmonisch in ${\displaystyle G}$. Ferner gilt für eine beliebige Folge ${\displaystyle \{y^{(k)}\}_{k=1,2,\ldots }\subset G}$ mit ${\displaystyle y^{(k)}\to y^{+}\in \partial G}$ für ${\displaystyle k\to \infty }$

Also ist ${\displaystyle v^{+}\in {\mathcal {M}}}$ erfüllt.

2. Nun betrachten wir die untere Barrierefunktion

Sei ${\displaystyle v\in {\mathcal {M}}}$ beliebig gewählt. Für eine Folge ${\displaystyle \{y^{(k)}\}_{k=1,2,\ldots }\subset G}$ mit ${\displaystyle y^{(k)}\to y^{-}\in \partial G}$ für ${\displaystyle k\to \infty }$ berechnen wir

Weiter ist ${\displaystyle v-v^{-}}$ superharmonisch in ${\displaystyle G}$ und es gilt ${\displaystyle v-v^{-}\geq 0}$ in ${\displaystyle G}$ bzw.

für alle ${\displaystyle v\in {\mathcal {M}}}$.

3. Für die harmonische Funktion

zeigen wir nun, dass ${\displaystyle u}$ stetig die Randwerte ${\displaystyle f}$ annimmt. Wegen 1. und 2. ist

erfüllt, d. h. es gilt

Beachten wir noch ${\displaystyle \lim _{y\in G \atop y\to x}\Phi (y)=0}$, so erhalten wir

für alle ${\displaystyle y\in G}$ mit ${\displaystyle |y-x|\leq \delta ^{*}(\varepsilon )}$. Somit folgt

Also löst ${\displaystyle u}$ das Dirichletproblem (2) für die Randwerte ${\displaystyle f}$.

q.e.d.

Ein Randpunkt ${\displaystyle x\in \partial G}$ ist regulär, wenn es eine Kugel ${\displaystyle B_{r}(a)}$ mit ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$ und ${\displaystyle r\in (0,+\infty )}$ gibt, so dass ${\displaystyle {\overline {G}}\cap {\overline {B_{r}(a)}}=\{x\}}$ erfüllt ist. Insbesondere sind dann beschränkte Gebiete mit regulärem ${\displaystyle C^{2}}$-Rand Dirichletgebiete.

Indem man für ${\displaystyle n=2}$ die in ${\displaystyle G}$ harmonische Funktion

und für ${\displaystyle n\geq 3}$ die harmonische Funktion

betrachtet, folgt unmittelbar die Behauptung.

q.e.d.

Das System der Funktionen

bildet ein vollständiges Orthonormalsystem, kurz v. o. n. S., im Prä-Hilbertraum ${\displaystyle {\mathcal {H}}:=C^{0}(S^{1},\mathbb {R} )}$ ausgestattet mit dem in

angegebenen inneren Produkt.

1. Man rechnet leicht nach, dass das angegebene Funktionensystem ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ orthonormiert ist, d. h. ${\displaystyle \|u\|=1}$ für alle ${\displaystyle u\in {\mathcal {S}}}$ und ${\displaystyle (u,v)=0}$ für alle ${\displaystyle u,v\in {\mathcal {S}}}$ mit ${\displaystyle u\neq v}$. Es bleibt zu zeigen, dass dieses Orthonormalsystem von Funktionen vollständig im Prä-Hilbertraum ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ist. Es ist zu zeigen, dass für jedes ${\displaystyle u\in {\mathcal {H}}}$ ihre zugehörige Fourierreihe diese Funktion bezüglich der Hilbertraumnorm ${\displaystyle \|\cdot \|}$ approximiert.

2. Sei also

beliebig gegeben. Wir setzen dann ${\displaystyle u}$ harmonisch in die Kreisscheibe

fort mittels

wobei wir ${\displaystyle z=re^{i\vartheta }}$ gesetzt haben. Wir entwickeln nun den Poissonschen Kern wie folgt:

Die Reihe konvergiert hierbei lokal gleichmäßig für ${\displaystyle 0\leq r<1}$ und ${\displaystyle \varphi ,\vartheta \in \mathbb {R} }$. Nun gilt

und wir erhalten mit ${\displaystyle g(\varphi ):=u(e^{i\varphi }),\varphi \in [0,2\pi )}$

Wir setzen schließlich

und

Damit erhalten wir in

die Fourierentwicklung einer in ${\displaystyle |z|<1}$ harmonischen Funktion.

3. Da ${\displaystyle u(z)}$ stetig in ${\displaystyle {\overline {B}}}$ ist, gibt es zu vorgegebenem ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ein ${\displaystyle r\in (0,1)}$, so dass

richtig ist. Weiter können wir ein ${\displaystyle N=N(\varepsilon )\in \mathbb {N} }$ so wählen, dass

erfüllt ist. Zu vorgegebenem ${\displaystyle \varepsilon >0}$ finden wir also reelle Koeffizienten ${\displaystyle A_{0},\ldots ,A_{N}}$ und ${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{N}}$, so dass für das trigonometrische Polynom

die Ungleichung

richtig ist. Wir erhalten damit

Wegen der Minimaleigenschaft der Fourierkoeffizienten approximiert die zum angegebenen Funktionensystem zugehörige Fourierreihe die vorgegebene Funktion bezüglich der Hilbertraumnorm. Nun ist dieses Funktionensystem ein vollständiges Orthonormalsystem in ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$.

q.e.d.

Sei ${\displaystyle H_{k}=H_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})\in C^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ eine harmonische Funktion auf der Menge ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}:=\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}}$, welche homogen vom Grade ${\displaystyle k}$ ist, d. h.

Dann heißt

eine ${\displaystyle n}$-dimensionale Kugelfunktion oder auch sphärisch harmonische Funktion vom Grade ${\displaystyle k}$; hierbei bezeichnet

die ${\displaystyle (n-1)}$-dimensionale Einheitssphäre im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.