Kurs:Elementare Algebra/18/Klausur

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Ordnung eines Elementes ${\displaystyle {}g\in G}$ in einer Gruppe ${\displaystyle {}G}$.
2. Der Binomialkoeffizient ${\displaystyle {}{\binom {n}{k}}}$.
3. Ein Radikal in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$.
4. Der Exponent ${\displaystyle {}{\exp _{p}(f)}}$ zu einem Element ${\displaystyle {}f\in R}$, ${\displaystyle {}f\neq 0}$, bezüglich eines Primelementes ${\displaystyle {}p\in R}$ in einem faktoriellen Bereich ${\displaystyle {}R}$.
5. Ein Vektorraum ${\displaystyle {}V}$ über einem Körper ${\displaystyle {}K}$.
6. Eine algebraische Zahl ${\displaystyle {}z\in {\mathbb {C} }}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über Ideale im Polynomring ${\displaystyle {}K[X]}$ über einem Körper ${\displaystyle {}K}$.
2. Der Satz über Normalteiler und Restklassengruppe.
3. Der Satz über die Konstruktion der Quadratwurzel.

Es seien ${\displaystyle {}\mu _{1},\mu _{2},\mu _{3}\in K}$ Elemente in einem Körper ${\displaystyle {}K}$. Zeige, dass

${\displaystyle {}w=\mu _{1}\mu _{2}+\mu _{1}\mu _{3}+\mu _{2}\mu _{3}\,}$

und

${\displaystyle {}z=-(\mu _{1}+\mu _{2}+\mu _{3})w+\mu _{1}\mu _{2}\mu _{3}\,}$

die Gleichung ${\displaystyle {}z^{2}=(w+\mu _{1}^{2})(w+\mu _{2}^{2})(w+\mu _{3}^{2})}$ erfüllen.

Bestimme die inversen Elemente der folgenden komplexen Zahlen.

a) ${\displaystyle {}3}$.

b) ${\displaystyle {}5{\mathrm {i} }}$.

c) ${\displaystyle {}3+5{\mathrm {i} }}$.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei ${\displaystyle {}K[X]}$ der Polynomring über ${\displaystyle {}K}$. Es sei ${\displaystyle {}P\in K[X]}$ ein Polynom und ${\displaystyle {}a\in K}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}a}$ genau dann eine Nullstelle von ${\displaystyle {}P}$ ist, wenn ${\displaystyle {}P}$ ein Vielfaches des linearen Polynoms ${\displaystyle {}X-a}$ ist.

Führe in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(7)[X]}$ die Division mit Rest „${\displaystyle {}P}$ durch ${\displaystyle {}T}$“ für die beiden Polynome ${\displaystyle {}P=2X^{3}+4X^{2}+5}$ und ${\displaystyle {}T=3X^{2}+X+1}$ durch.

Es seien ${\displaystyle {}P}$ und ${\displaystyle {}Q}$ verschiedene normierte Polynome vom Grad ${\displaystyle {}d}$ über einem Körper ${\displaystyle {}K}$. Wie viele Schnittpunkte besitzen die beiden Graphen maximal?

Es ist ${\displaystyle {}1+2+3=1\cdot 2\cdot 3}$. Gibt es neben der ${\displaystyle {}1}$ weitere natürliche (ganze, reelle, komplexe) Zahlen ${\displaystyle {}x}$, die die Gleichung

${\displaystyle {}x+(x+1)+(x+2)=x\cdot (x+1)\cdot (x+2)\,}$

erfüllen?

Bestimme in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${\displaystyle {}71894}$ und ${\displaystyle {}45327}$.

Bestimme, für welche ${\displaystyle {}n\geq 2}$ der Binomialkoeffizient

${\displaystyle {\binom {n}{2}}}$

eine Primzahl ist.

Bestimme den Exponenten zu ${\displaystyle {}3}$ von ${\displaystyle {}72657}$.

Es sei ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$. Zeige, dass das Produkt von ${\displaystyle {}n}$ aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen von ${\displaystyle {}n!}$ geteilt wird.

Bestimme das inverse Element zu ${\displaystyle {}{\overline {35}}}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(101)}$.

Zeige, dass die Periodenlänge der Stammbrüche ${\displaystyle {}{\frac {1}{n}}}$ im Zehnersystem beliebig lang sein kann.

Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von

${\displaystyle {\frac {1}{x^{4}+1}}}$

unter Verwendung der Zerlegung

${\displaystyle {}x^{4}+1={\left(x^{2}+{\sqrt {2}}x+1\right)}{\left(x^{2}-{\sqrt {2}}x+1\right)}\,.}$

1. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in genau drei Punkten schneiden.
2. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in keinem Punkt schneiden.
3. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in einem Punkt schneiden.
4. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in sechs Punkten schneiden.

Bestimme das Minimalpolynom der komplexen Zahl ${\displaystyle {}\pi +e{\mathrm {i} }}$ über ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$.

Beweise die „Gradformel“ für eine Kette von endlichen Körpererweiterungen ${\displaystyle {}K\subseteq L\subseteq M}$.

Es sei

${\displaystyle {}z^{2}+pz+q=0\,}$

eine quadratische Gleichung mit ${\displaystyle {}p,q\in \mathbb {R} }$. Zeige, dass die Koordinaten der Schnittpunkte der Geraden

${\displaystyle {}x+y=-p\,}$

und des Kreises

${\displaystyle {}x^{2}+y^{2}=p^{2}-2q\,}$

die Lösungen der quadratischen Gleichung sind.

Zeige, dass man jeden vorgegebenen Winkel mittels Zirkel und Lineal halbieren kann.

Beschreibe einen didaktischen Ansatz, wie man in der Schule Gerade, Kreis und ihr Schnittverhalten behandeln kann.