Kurs:Elementare und algebraische Zahlentheorie/11/Klausur

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Primelement ${\displaystyle {}p\in R,\,p\neq 0}$, in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$.
2. Die eulersche Funktion ${\displaystyle {}\varphi (n)}$ zu ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$.
3. Die Primzahlfunktion.
4. Ein lokaler Ring.
5. Ein Hauptdivisor zu einem Element ${\displaystyle {}q\in Q(R)}$, ${\displaystyle {}q\neq 0}$, aus dem Quotientenkörper zu einem Zahlbereich ${\displaystyle {}R}$.
6. Eine quadratische Form auf einem ${\displaystyle {}R}$- Modul ${\displaystyle {}L}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der erste Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.
2. Der Satz über die diophantische Gleichung ${\displaystyle {}x^{4}+y^{4}=z^{2}}$.
3. Der Satz über die Restklassenringe von Zahlbereichen.

Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von ${\displaystyle {}7}$ und der andere ein Fassungsvermögen von ${\displaystyle {}10}$ Litern. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.

Zu einer positiven natürlichen Zahl ${\displaystyle {}n}$ sei ${\displaystyle {}a_{n}}$ das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen ${\displaystyle {}1,2,3,\ldots ,n}$.

a) Bestimme ${\displaystyle {}a_{n}}$ für ${\displaystyle {}n=1,2,3,4,5}$.

b) Was ist die kleinste Zahl ${\displaystyle {}n}$ mit

${\displaystyle {}a_{n}=a_{n+1}\,?}$

c) Was ist die kleinste Zahl ${\displaystyle {}n}$ mit

${\displaystyle {}a_{n}=a_{n+1}=a_{n+2}\,?}$

Zeige anhand der beiden Gaußschen Zahlen ${\displaystyle {}1+{\mathrm {i} }}$ und ${\displaystyle {}2}$, dass bei einem euklidischen Bereich die Division mit Rest nicht eindeutig sein muss. Man gebe vier gleichberechtigte Darstellungen für die Division mit Rest von „ ${\displaystyle {}1+{\mathrm {i} }}$ durch ${\displaystyle {}2}$“ an.

a) Finde die Zahlen ${\displaystyle {}z\in \{0,1,\ldots ,9\}}$ mit der Eigenschaft, dass die letzte Ziffer ihres Quadrates (in der Dezimaldarstellung) gleich ${\displaystyle {}z}$ ist.

b) Finde die Zahlen ${\displaystyle {}z\in \{0,1,\ldots ,99\}}$ mit der Eigenschaft, dass die beiden letzten Ziffern ihres Quadrates (in der Dezimaldarstellung) gleich ${\displaystyle {}z}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}f\in R}$. Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung

${\displaystyle \mu _{f}\colon R\longrightarrow R,\,g\longmapsto fg,}$

wann ${\displaystyle {}f}$ ein Nichtnullteiler und wann ${\displaystyle {}f}$ eine Einheit ist.

Suche für die folgenden zusammengesetzten Zahlen ${\displaystyle {}n}$ eine zu ${\displaystyle {}n}$ teilerfremde Zahl ${\displaystyle {}a}$ derart, dass

${\displaystyle {}a^{\frac {n-1}{2}}\neq \left({\frac {a}{n}}\right)\,}$

in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(n)}$ gilt.

a) ${\displaystyle {}n=49}$.

b) ${\displaystyle {}n=75}$.

Beweise das quadratische Reziprozitätsgesetz für ungerade Primzahlen.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und sei ${\displaystyle {}p\in R}$ ein Primelement. Zeige, dass ${\displaystyle {}p}$ auch im Polynomring ${\displaystyle {}R[X]}$ prim ist.

Betrachte die rationalen Zahlen ${\displaystyle {}(\mathbb {Q} ,+,0)}$ als kommutative Gruppe. Es sei ${\displaystyle {}G\subseteq \mathbb {Q} }$ eine endlich erzeugte Untergruppe. Zeige, dass ${\displaystyle {}G}$ zyklisch ist.

Es sei ${\displaystyle {}z={\frac {a}{b}}}$ eine rationale Zahl.

a) Zeige, dass es ein normiertes Polynom ${\displaystyle {}P\in \mathbb {Q} [X]}$ mit

${\displaystyle {}P(z)=0\,}$

gibt.

b) Zeige, dass es ein Polynom ${\displaystyle {}Q\in \mathbb {Q} [X]}$ mit ganzzahligen Koeffizienten und mit

${\displaystyle {}Q(z)=0\,}$

gibt.

Es sei ${\displaystyle {}D\neq 1}$ eine quadratfreie Zahl mit ${\displaystyle {}D=1\mod 4}$, und sei ${\displaystyle {}A_{D}}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Man gebe eine Ganzheitsgleichung für ${\displaystyle {}{\frac {1-{\sqrt {D}}}{2}}}$ über ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ an. Man zeige, dass es keine echten Zwischenringe ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]\subset R\subset A_{D}}$ gibt.

Berechne explizit die Diskriminante des quadratischen Zahlbereichs ${\displaystyle {}A_{-7}}$. Stelle die Multiplikationsmatrix bezüglich einer geeigneten Basis für das Element

${\displaystyle {}f={\frac {3}{2}}+{\frac {5}{2}}{\sqrt {-7}}\,}$

auf und berechne damit die Spur und die Norm von ${\displaystyle {}f}$.

Es sei ${\displaystyle {}D\neq 0,1}$ eine quadratfreie Zahl und ${\displaystyle {}A_{D}}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Zeige, dass es für eine Primzahl ${\displaystyle {}p}$ die folgenden drei Möglichkeiten:

1. ${\displaystyle {}p}$ ist prim in ${\displaystyle {}A_{D}}$.
2. Es gibt ein Primideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ in ${\displaystyle {}A_{D}}$ derart, dass ${\displaystyle {}(p)={\mathfrak {p}}^{2}}$ ist.
3. Es gibt ein Primideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ in ${\displaystyle {}A_{D}}$ derart, dass ${\displaystyle {}(p)={\mathfrak {p}}{\overline {\mathfrak {p}}}}$ mit ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}\neq {\overline {\mathfrak {p}}}}$ ist.