Kurs:Elementare und algebraische Zahlentheorie/4/Klausur

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Assoziiertheit von Elementen ${\displaystyle {}a,b}$ in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$.
2. Ein Hauptidealbereich.
3. Ein pythagoreisches Tripel.
4. Der Grad einer endlichen Körpererweiterung ${\displaystyle {}K\subseteq L}$.
5. Die konvexe Hülle von ${\displaystyle {}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$.
6. Den Divisor zu einem Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\neq 0}$ in einem Zahlbereich ${\displaystyle {}R}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Charakterisierungssatz für Restklassenringe von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ mit zyklischer Einheitengruppe.
2. Der Satz über die Charakterisierung von pythagoreischen Tripeln.
3. Der Satz über Primideale in einem Zahlbereich.

Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl ${\displaystyle {}n\geq 2}$ eine Zerlegung in Primzahlen besitzt.

Es seien drei verschiedene Zahlen ${\displaystyle {}a,b,c>1}$ gegeben. Wie viele Teiler besitzt das Produkt ${\displaystyle {}a\cdot b\cdot c}$ minimal?

a) Bestimme für die Zahlen ${\displaystyle {}3}$, ${\displaystyle {}11}$ und ${\displaystyle {}13}$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

${\displaystyle \mathbb {Z} /(3)\times \mathbb {Z} /(11)\times \mathbb {Z} /(13)}$

die Restetupel ${\displaystyle {}(1,0,0),\,(0,1,0)}$ und ${\displaystyle {}(0,0,1)}$ repräsentieren.

b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung ${\displaystyle {}x}$ der simultanen Kongruenzen

${\displaystyle x=2\!\!\mod 3,\,\,\,\,x=5\!\!\mod 11{\text{ und }}x=6\!\!\mod 13.}$

Bestimme sämtliche primitive Einheiten im Restklassenkörper ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(13)}$.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring mit ${\displaystyle {}p}$ Elementen, wobei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl sei. Zeige, dass ${\displaystyle {}R}$ ein Körper ist.

Betrachte die Quadratrestgruppe

${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times 2},}$

wobei ${\displaystyle {}\mathbb {Q} ^{\times 2}}$ die Untergruppe der Quadrate bezeichne. Zeige, dass es zu jeder Restklasse ${\displaystyle {}x\in \mathbb {Q} ^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times 2}}$ einen Repräsentanten aus ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ gibt.

Zeige, dass die diophantische Gleichung

${\displaystyle {}x^{4}+y^{4}=z^{2}\,}$

keine ganzzahlige nichttriviale Lösung besitzt.

Es sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ ein Ideal in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ genau dann ein Primideal ist, wenn ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ der Kern eines Ringhomomorphismus ${\displaystyle {}\varphi \colon R\rightarrow K}$ in einen Körper ${\displaystyle {}K}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}(\mathbb {Q} ,+,0)}$ versehen mit der üblichen Addition. Es sei eine weitere Verknüpfung ${\displaystyle {}*}$ auf ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ derart gegeben, dass ${\displaystyle {}(\mathbb {Q} ,+,0,*,1)}$ ein kommutativer Ring ist. Ferner gelte ${\displaystyle {}1*1=1}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}*}$ die übliche Multiplikation sein muss.

Ein angeordneter Körper ${\displaystyle {}K}$ enthalte die Wurzeln ${\displaystyle {}{\sqrt[{3}]{2}}}$ und ${\displaystyle {}{\sqrt[{7}]{2}}}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}K}$ auch ${\displaystyle {}{\sqrt[{21}]{2}}}$ enthält.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper ${\displaystyle {}Q(R)}$. Zeige

${\displaystyle {}R=\bigcap _{{\mathfrak {m}}{\text{ maximal }}}R_{\mathfrak {m}}\,,}$

wobei der Durchschnitt über alle maximale Ideale läuft und in ${\displaystyle {}Q(R)}$ genommen wird.

Man gebe ein Beispiel von zwei Zahlbereichen ${\displaystyle {}R}$ und ${\displaystyle {}S}$, die als Ringe nicht isomorph sind, aber die Eigenschaft haben, dass sowohl die additiven Strukturen ${\displaystyle {}(R,+,0)}$ und ${\displaystyle {}(S,+,0)}$ als Gruppen isomorph als auch die multiplikativen Strukturen ${\displaystyle {}(R,\cdot ,1)}$ und ${\displaystyle {}(S,\cdot ,1)}$ als Monoide isomorph sind.

Es sei ${\displaystyle {}D\neq 0,1}$ eine quadratfreie Zahl und sei ${\displaystyle {}A_{D}}$ ein quadratischer Zahlbereich. Definiere die Konjugation zu einem Element ${\displaystyle {}f\in \mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]}$ und zu einem Element ${\displaystyle {}f\in A_{D}}$. Definiere zu einem Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\neq 0}$ das konjugierte Ideal ${\displaystyle {}{\overline {\mathfrak {a}}}}$ und zeige, dass es sich um ein Ideal handelt. Zeige, dass ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ und ${\displaystyle {}{\overline {\mathfrak {a}}}}$ in der Klassengruppe invers zueinander sind.

Es sei ${\displaystyle {}R=A_{7}}$ der quadratische Zahlbereich zu ${\displaystyle {}D=7}$. Zeige mittels Korollar 27.10 (Zahlentheorie (Osnabrück 2025)), dass ${\displaystyle {}R}$ faktoriell ist.