Kurs:Elementare und algebraische Zahlentheorie/6/Klausur

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Ring ${\displaystyle {}R}$.
2. Das Jacobi-Symbol.
3. Die Riemannsche Zetafunktion.
4. Die Norm zu einem Element ${\displaystyle {}f\in L}$ bei einer endlichen Körpererweiterung ${\displaystyle {}K\subseteq L}$.
5. Eine quadratfreie Zahl.
6. Die Klassenzahl zu einem quadratischen Zahlbereich ${\displaystyle {}R}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Lemma von Euklid für einen Hauptidealbereich.
2. Der Satz über die explizite Beschreibung der quadratischen Zahlbereiche.
3. Der Satz über die Darstellung von Hauptidealen in Zahlbereichen.

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler der drei Zahlen ${\displaystyle {}4369,4131,3383}$.

Es sei ${\displaystyle {}z}$ eine natürliche Zahl. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${\displaystyle {}z}$ ist teilerfremd zu ${\displaystyle {}10}$.
2. ${\displaystyle {}z}$ ist teilerfremd zu ${\displaystyle {}10^{k}}$ für ein ${\displaystyle {}k\in \mathbb {N} _{+}}$.
3. ${\displaystyle {}z}$ ist teilerfremd zu ${\displaystyle {}10^{k}}$ für jedes ${\displaystyle {}k\in \mathbb {N} _{+}}$.
4. Die Endziffer von ${\displaystyle {}z}$ im Zehnersystem ist ${\displaystyle {}1,3,7}$ oder ${\displaystyle {}9}$.

Es sei ${\displaystyle {}n\geq 1}$ eine natürliche Zahl mit der Eigenschaft, dass die Anzahl ihrer Teiler ungerade ist. Zeige, dass ${\displaystyle {}n}$ eine Quadratzahl ist.

Berechne ${\displaystyle {}3^{1457}}$ in ${\displaystyle {}{\mathbb {Z} }/(13)}$.

Bestimme in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${\displaystyle {}5+2{\mathrm {i} }}$ und ${\displaystyle {}3+7{\mathrm {i} }}$.

Berechne in

${\displaystyle \mathbb {Z} /(7)[X]/(X^{3}+4X^{2}+X+5)}$

${\displaystyle (2x^{2}+5x+3)\cdot (3x^{2}+x+6)}$

(${\displaystyle {}x}$ bezeichne die Restklasse von ${\displaystyle {}X}$).

Es sei ${\displaystyle {}n}$ eine natürliche Zahl. Wann ist die Zahl ${\displaystyle {}n^{2}-1}$ eine Primzahl?

1. Bestimme die Menge ${\displaystyle {}{\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid 2x^{2}+y^{2}+32z^{2}=41\right\}}}$ und ihre Anzahl.
2. Bestimme die Menge ${\displaystyle {}{\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid 2x^{2}+y^{2}+8z^{2}=41\right\}}}$ und ihre Anzahl.

Zeige, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die modulo ${\displaystyle {}4}$ den Rest ${\displaystyle {}1}$ besitzen.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}\subseteq R}$ ein Ideal in ${\displaystyle {}R}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}}$ genau dann ein maximales Ideal ist, wenn der Restklassenring ${\displaystyle {}R/{\mathfrak {m}}}$ ein Körper ist.

Man gebe eine vollständige Liste aller kommutativen Ringe mit ${\displaystyle {}6}$ Elementen.

Es sei ${\displaystyle {}R\subseteq \mathbb {Q} }$ der Unterring, der aus allen Dezimalbrüchen besteht. Bestimme die Einheitengruppe von ${\displaystyle {}R}$. Welche Gestalt besitzt diese Einheitengruppe als abstrakte Gruppe?

Beweise den Satz über die Charakterisierung von ganzen Elementen.

Zeige, dass in einem Zahlbereich ${\displaystyle {}R}$ jedes von ${\displaystyle {}0}$ verschiedene Primideal bereits ein maximales Ideal ist.

Es sei ${\displaystyle {}R=A_{11}}$ der quadratische Zahlbereich zu ${\displaystyle {}D=11}$. Zeige mittels Korollar 27.10 (Zahlentheorie (Osnabrück 2025)), dass ${\displaystyle {}R}$ faktoriell ist.

Zeige, dass die beiden binären quadratischen Formen ${\displaystyle {}F=X^{2}-10Y^{2}}$ und ${\displaystyle {}G=2X^{2}-5Y^{2}}$ die gleiche Diskriminante besitzen, aber nicht zueinander äquivalent sind.