Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 12/latex
\setcounter{section}{12}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ \Z 4
}
{ \subseteq }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die zugehörige
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{.}
\aufzaehlungvierabc{Skizziere die Punkte
\zusatzklammer {eine sinnvolle Auswahl} {} {}
aus $U$
\zusatzklammer {als Punkte in $\Z$} {} {}
mit einer Farbe.
}{Skizziere mit verschiedenen Farben die verschiedenen
\definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{}
\zusatzklammer {\definitionsverweis {Nebenklassen}{}{}} {} {.}
}{Wie viele Äquivalenzklassen gibt es? Beschreibe ein
\definitionsverweis {Repräsentantensystem}{}{.}
}{Erstelle eine Verknüpfungstabelle für die Farben. Welche Farben sind zueinander invers?
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten in der
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Z \times \Z
}
{ = }{ \Z^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U
}
{ =} { \langle \begin{pmatrix} 0 \\2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\1 \end{pmatrix} \rangle
}
{ =} { { \left\{ a \begin{pmatrix} 0 \\2 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 3 \\1 \end{pmatrix} \mid a,b \in \Z \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die zugehörige
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{.}
\aufzaehlungvierabc{Skizziere die Punkte
\zusatzklammer {eine sinnvolle Auswahl} {} {}
aus $U$
\zusatzklammer {als Punkte in $\Z^2$} {} {}
mit einer Farbe.
}{Skizziere mit verschiedenen Farben die verschiedenen
\definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{}
\zusatzklammer {\definitionsverweis {Nebenklassen}{}{}} {} {.}
}{Wie viele Äquivalenzklassen gibt es? Beschreibe ein
\definitionsverweis {Repräsentantensystem}{}{.}
}{Erstelle eine Verknüpfungstabelle für die Farben. Welche Farben sind zueinander invers?
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für jedes Element der
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mathl{\Z^2/U}{} aus
Aufgabe 12.2
die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \{ 1, -1\}
}
{ \subset }{ \R^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde in der
\definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{}
$S_3$ einen
\definitionsverweis {Normalteiler}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N
}
{ \neq }{ 0, S_3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und bestimme die zugehörige
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bringe die
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mathl{\Q/\Z}{} mit der in
Aufgabe 1.18
direkt eingeführten Gruppe in Verbindung.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass es in der
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mathl{\Q/\Z}{} zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elemente gibt, deren
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
gleich $n$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es keine Untergruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \subseteq }{ (\Q,0,+)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass die zusammengesetzte Abbildung
\maabbdisp {} { F } { \Q/\Z
} {}
ein
\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element mit dem
\zusatzklammer {nach
Lemma 10.7} {} {}
zugehörigen
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} {\Z} {G
} { n } {g^n
} {.}
Beschreibe die kanonische Faktorisierung von $\varphi$ gemäß
Satz 12.8.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
ein Element mit endlicher
\definitionsverweis {Ordnung}{}{.}
Zeige, dass die Ordnung von $g$ mit dem minimalen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
übereinstimmt, zu dem es einen
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { \Z/( d ) } { G
} {}
gibt, in dessen Bild das Element $g$ liegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige mit Hilfe der Homomorphiesätze, dass \definitionsverweis {zyklische Gruppen}{}{} mit der gleichen \definitionsverweis {Ordnung}{}{} \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Lucy Sonnenschein kennt von einer natürlichen Zahl $n$ nur den Rest bei Division durch $12$. Welche der Reste von $n$ bei Division durch die folgenden Zahlen $e$ kann sie daraus erschließen?
\aufzaehlungneun{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e
}
{ = }{ 3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e
}
{ = }{ 3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e
}
{ = }{ 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e
}
{ = }{ 5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e
}
{ = }{ 6
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e
}
{ = }{ 7
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e
}
{ = }{ 8
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass für jede reelle Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Restklassengruppen}{}{}
\mathl{\R/\Z a}{} untereinander
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {G, H} {und} {F} {}
\definitionsverweis {Gruppen}{}{}
und seien
\maabb {\varphi} { G } { H
} {}
und
\maabb {\psi} { G } { F
} {}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{}
mit $\psi$ surjektiv und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \psi
}
{ \subseteq }{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme den
\definitionsverweis {Kern}{}{}
des induzierten Homomorphismus
\maabbdisp {\tilde{\varphi}} { F } { H
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{.} Definiere einen \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} {(\Q \setminus \{0\}, \cdot,1)} {(\Z,+,0) } {,} der $p \mapsto 1$ und alle anderen Primzahlen auf $0$ schickt.
}
{Bestimme auch den Kern dieses Gruppenhomomorphismus.} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {G_1} {und} {G_2} {}
\definitionsverweis {Gruppen}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N_1
}
{ \subseteq }{ G_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N_2
}
{ \subseteq }{ G_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Normalteiler}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{N_1 \times N_2}{} ein Normalteiler in
\mathl{G_1 \times G_2}{} ist und dass eine
\definitionsverweis {Isomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (G_1 \times G_2)/(N_1 \times N_2)
}
{ \cong} { (G_1/N_1) \times (G_2/N_2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vorliegt.
}
{} {}
Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt \definitionswort {dicht}{,} wenn es zu jeder reellen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { t-x }
}
{ <} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $H$ eine (additive)
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
der reellen Zahlen $\R$. Zeige, dass entweder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ = }{{\Z} a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einer eindeutig bestimmten nichtnegativen reellen Zahl $a$ ist, oder aber $H$
\definitionsverweis {dicht}{}{}
in $\R$ ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4 (1+1+1+1)}
{
Wir betrachten in der
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Z \times \Z
}
{ = }{ \Z^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U
}
{ =} { \langle \begin{pmatrix} 3 \\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\2 \end{pmatrix} \rangle
}
{ =} { { \left\{ a \begin{pmatrix} 3 \\0 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 2 \\2 \end{pmatrix} \mid a,b \in \Z \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die zugehörige
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{.}
\aufzaehlungvierabc{Skizziere die Punkte
\zusatzklammer {eine sinnvolle Auswahl} {} {}
aus $U$
\zusatzklammer {als Punkte in $\Z^2$} {} {}
mit einer Farbe.
}{Skizziere mit verschiedenen Farben die verschiedenen
\definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{}
\zusatzklammer {\definitionsverweis {Nebenklassen}{}{}} {} {.}
}{Wie viele Äquivalenzklassen gibt es? Beschreibe ein
\definitionsverweis {Repräsentantensystem}{}{.}
}{Erstelle eine Verknüpfungstabelle für die Farben. Welche Farben sind zueinander invers?
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es seien $G$ und $H$ \definitionsverweis {Gruppen}{}{} mit der \definitionsverweis {Produktgruppe}{}{} $G \times H$. Zeige, dass die Gruppe $G \times \{ e_H \}$ ein \definitionsverweis {Normalteiler}{}{} in $G \times H$ ist, und dass die Restklassengruppe $(G \times H)/(G \times \{ e_H \})$ kanonisch \definitionsverweis {isomorph}{}{} zu $H$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{} zwischen zwei \definitionsverweis {zyklischen Gruppen}{}{.} Welche sind injektiv und welche sind surjektiv?
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige, dass es eine Gruppe $G$ und einen
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {(\R,0,+)} {G
} {}
mit der Eigenschaft gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann
\definitionsverweis {rational}{}{}
ist, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(r)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme sämtliche \definitionsverweis {Gruppen}{}{} mit vier Elementen.
}
{} {}