Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 14/latex
\setcounter{section}{14}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein fixiertes Element. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{K[X]/(X-a)}{} zu $K$
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$d$. Zeige, dass jedes Element im
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ K[X]/(P)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch ein Polynom vom Grad
\mathl{<d}{} repräsentiert werden kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne in
\mathl{\Q[X]/(X^5)}{} das Produkt
\mathdisp {{ \left( 7 X^4- { \frac{ 2 }{ 3 } }X^3 +2X + { \frac{ 1 }{ 5 } } \right) } { \left( - { \frac{ 4 }{ 7 } } X^3 + 4X^2 -3 \right) }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne in
\mathdisp {\Z/( 7 )[X]/(X^3+4X^2+X+5)} { }
das Produkt
\mathdisp {(2x^2+5x+3) \cdot (3x^2+x+6)} { }
\zusatzklammer {$x$ bezeichne die Restklasse von $X$} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die komplexen Zahlen ${\mathbb C}$ die Restklassendarstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathbb C}
}
{ \cong} { \R[X]/ (X^2+1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besitzen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Vereinfache den
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{\Z[X]/(3,11X^2-4)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne im
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{\Z[X]/(6X)}{} das Produkt
\mathdisp {(4X^3-2X+3)(3X^3-3X^2+4)} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man konstruiere zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einen
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$0$ derart, dass es in $R$ ein Element der
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
\zusatzklammer {bezüglich der additiven Struktur} {} {}
$n$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man konstruiere einen \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$, in dem die $4$ mindestens drei \definitionsverweis {Quadratwurzeln}{}{} besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einen
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ und ein Element
\mathbed {x \in R} {}
{x \neq 0} {}
{} {} {} {,}
an, für das
\mathkor {} {nx=0} {und} {x^n =0} {}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den \definitionsverweis {Kern}{}{} und das \definitionsverweis {Bild}{}{} des \definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\Q[X] } { \R } { X } { \sqrt{5} } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mathbed {p \in R} {}
{p \neq 0} {}
{} {} {} {.}
Zeige, dass $p$ genau dann ein
\definitionsverweis {Primelement}{}{} ist, wenn der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{R/(p)}{} ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass jeder \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} eines \definitionsverweis {Hauptidealringes}{}{} wieder ein Hauptidealring ist. Man gebe ein Beispiel, dass ein Restklassenring eines \definitionsverweis {Hauptidealbereiches}{}{} kein Hauptidealbereich sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und ${\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Ideal}{}{.} Zeige, dass ${\mathfrak p}$ genau dann ein \definitionsverweis {Primideal}{}{} ist, wenn der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $R/{\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wende Satz 14.6 auf den \definitionsverweis {kanonischen Ringhomomorphismus}{}{} \maabb {} {\Z} {R } {} zu einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$A$ eine
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
mit einem Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wende
Satz 14.6
auf den zugehörigen
\definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{}
\maabbele {} {K[X] } { A
} { X } {f
} {,}
an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei ${\mathfrak a}$ ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S
}
{ =} { R/{\mathfrak a}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Ideale von $S$ eindeutig denjenigen Idealen von $R$ entsprechen, die ${\mathfrak a}$ umfassen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Ideale}{}{}
im
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{\Z/(100)}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es seien $a$ und $n$ natürliche Zahlen mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} {\sum_{i = 0}^\ell a_i n^{i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Darstellung von $a$ zur Basis $n$
\zusatzklammer {also mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ 0
}
{ \leq }{ a_i
}
{ < }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
Es sei $k$ ein Teiler von $n-1$. Dann wird $a$ von $k$ genau dann geteilt, wenn die \stichwort {Quersumme} {} $\sum_{i=0}^\ell a_i$ von $k$ geteilt wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $a$ eine positive
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{\R[X]/(X^2+a)}{}
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
zu ${\mathbb C}$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in $R$. Zeige, dass ${\mathfrak m}$ genau dann ein
\definitionsverweis {maximales Ideal}{}{}
ist, wenn der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
$R/{\mathfrak m}$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathdisp {\Z/( 2 ) [X]/(X^2+X+1)} { }
ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
mit vier Elementen ist.
}
{} {}
Die nächste Aufgabe verwendet folgende Definition.
Ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} $R$ heißt \definitionswort {reduziert}{,} wenn $0$ das einzige \definitionsverweis {nilpotente Element}{}{} von $R$ ist.
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} ${\mathfrak a}$ in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ genau dann ein \definitionsverweis {Radikal}{}{} ist, wenn der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $R/ {\mathfrak a}$ \definitionsverweis {reduziert}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Ideale}{}{}
im
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{\Z/(24)}{.} Zu jedem Ideal sollen die Elemente aufgelistet werden. Bestimme die zugehörigen Restklassenringe.
}
{} {}