Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 16/latex

\aufzaehlungzweiabc{Bestimme für die Zahlen $3$, $5$ und $7$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
\mathdisp {\Z/( 3 ) \times \Z/( 5 ) \times \Z/( 7 )} { }
die Restetupel $(1,0,0),\, (0,1,0)$ und $(0,0,1)$ repräsentieren. }{Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen
\mathdisp {x = 2 \!\! \mod 3 , \, \, \, \, x = 4 \!\! \mod 5 \text{ und } x = 3 \!\! \mod 7} { . }
}

\aufzaehlungzweiabc{Bestimme für die Zahlen $2$, $9$ und $25$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
\mathdisp {\Z/( 2 ) \times \Z/( 9 ) \times \Z/(25)} { }
die Restetupel $(1,0,0),\, (0,1,0)$ und $(0,0,1)$ repräsentieren. }{Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen
\mathdisp {x = 0 \!\! \mod 2 , \, \, \, \, x = 3 \!\! \mod 9 \text{ und } x = 5 \!\! \mod 25} { . }
}

\aufzaehlungzweiabc{Bestimme für die Zahlen $2$, $3$ und $7$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
\mathdisp {\Z/( 2 ) \times \Z/( 3 ) \times \Z/( 7 )} { }
die Restetupel $(1,0,0),\, (0,1,0)$ und $(0,0,1)$ repräsentieren. }{Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen
\mathdisp {x = 1 \!\! \mod 2 , \, \, \, \, x = 2 \!\! \mod 3 \text{ und } x = 2 \!\! \mod 7} { . }
}

Gibt es eine natürliche Zahl $n$, die modulo $4$ den Rest $3$ und modulo $6$ den Rest $2$ besitzt?

Man berechne in $\Z/(80)$ die Elemente \aufzaehlungdreiabc{ $3^{1234567}$, }{ $2^{1234567}$, }{ $5^{1234567}$. }

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \geq }{ 2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {natürliche Zahl}{}{.} Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. \aufzaehlungdrei{In der Primfaktorzerlegung von $n$ kommt jeder Primfaktor mit Exponent $1$ vor. }{Der Restklassenring
\mathl{\Z/( n )}{} ist \definitionsverweis {reduziert}{}{.} }{Der Restklassenring
\mathl{\Z/( n )}{} ist das \definitionsverweis {Produkt}{}{} von \definitionsverweis {Körpern}{}{.}}

Bestimme die \definitionsverweis {nilpotenten}{}{} Elemente, die \definitionsverweis {idempotenten }{}{} Elemente und die \definitionsverweis {Einheiten }{}{} in
\mathl{{\mathbb Z}/(72)}{.}

Bestimme die \definitionsverweis {nilpotenten}{}{} Elemente, die \definitionsverweis {idempotenten}{}{} Elemente und die \definitionsverweis {Einheiten}{}{} von $\Z/(100)$.

In dieser Aufgabe geht es um den Restklassenring $\Z/(360)$. \aufzaehlungvierabc{Schreibe $\Z/(360)$ als Produktring \zusatzklammer {im Sinne des chinesischen Restsatzes} {} {.} }{Wie viele Einheiten besitzt $\Z/(360)$? }{Schreibe das Element $239$ in komponentenweiser Darstellung. Begründe, warum es sich um eine Einheit handelt und finde das Inverse in komponentenweiser Darstellung. }{Berechne die Ordnung von $239$ in $\Z/(360)$. }

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $n_R$ das Nilideal von $R$, das aus allen \definitionsverweis {nilpotenten Elementen}{}{} von $R$ besteht. Dann nennt man den \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $R/n_R$ die \definitionswort {Reduktion}{} von $R$.

Beschreibe die \definitionsverweis {nilpotenten Elemente}{}{} von
\mathl{\Z/( n )}{} und die \definitionsverweis {Reduktion}{}{} von
\mathl{\Z/( n )}{.}

Berechne die Werte der \definitionsverweis {eulerschen Funktion}{}{}
\mathl{{\varphi (n)}}{} für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ n }
{ \leq} { 20 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {eulersche Funktion}{}{}
\mathl{\varphi}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\varphi (a^n )} }
{ =} { a^{n-1} {\varphi ( a )} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} erfüllt.

Zeige, dass die \definitionsverweis {eulersche Funktion}{}{} $\varphi$ für natürliche Zahlen $n,m$ die Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\varphi ( \operatorname{ggT} ( m ,n) )} \cdot {\varphi ( \operatorname{kgV} ( m ,n) )} }
{ =} { {\varphi ( n )} \cdot {\varphi ( m )} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erfüllt.

Es sei $d$ eine zu $10$ \definitionsverweis {teilerfremde}{}{} natürliche Zahl. Zeige, dass die Periode der Dezimalentwicklung von
\mathl{{ \frac{ 1 }{ d } }}{} unmittelbar nach dem Komma beginnt. Zeige ferner, dass dies nicht gilt, wenn $d$ und $10$ einen gemeinsamen Teiler haben.

Bestimme die Periodenlänge der Dezimalentwicklung von
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 77 } }}{.}

\aufzaehlungzweiabc{Bestimme für die Zahlen $4$, $5$ und $11$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
\mathdisp {\Z/( 4 ) \times \Z/( 5 ) \times \Z/(11)} { }
die Restetupel $(1,0,0),\, (0,1,0)$ und $(0,0,1)$ repräsentieren. }{Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen
\mathdisp {x = 3 \!\! \mod 4 , \, \, \, \, x = 2 \!\! \mod 5 \text{ und } x = 10 \!\! \mod 11} { . }
}

Bestimme die \definitionsverweis {nilpotenten}{}{} Elemente, die \definitionsverweis {idempotenten}{}{} Elemente und die \definitionsverweis {Einheiten}{}{} von
\mathl{{\mathbb Z}/(60)}{.}

Bestimme den Rest von $11!$ modulo $91$.

Beweise die \stichwort {eulersche Formel} {} für die \definitionsverweis {eulersche Funktion}{}{,} das ist die Aussage, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\varphi ( n )} }
{ =} { n \cdot \prod_{ p{{|}} n,\ p \text{ prim} } { \left( 1-{ \frac{ 1 }{ p } } \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

Bestimme die Periodenlänge der Dezimalentwicklung von
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 221 } }}{.}