Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 22/latex
\setcounter{section}{22}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.} Zeige, dass $L$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne im Körper $\Q[\sqrt{7}]$ das Produkt
\mathdisp {(-2 + \sqrt{7} ) \cdot (4- \sqrt{7})} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$1$. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L
}
{ = }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb C}
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.}
Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb C}
}
{ = }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme in $\Q[\sqrt{ 7 }]$ das \definitionsverweis {Inverse}{}{} von $2 +5 \sqrt{ 7 }$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten den
\definitionsverweis {Unterring}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L
}
{ =} { { \left\{ a + b \cdot 7^{ 1/3} +c \cdot 7^{2/3} \mid a,b,c \in \Q \right\} }
}
{ \subseteq} { \R
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Berechne
\mathdisp {{ \left( 2 -3 \cdot 7^{ 1/3} +4 \cdot 7^{2/3} \right) } { \left( 1 + { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot 7^{ 1/3} -5 \cdot 7^{2/3} \right) }} { . }
Zeige dabei insbesondere, dass das Ergebnis wieder zu $L$ gehört.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L
}
{ =} { { \left\{ a + b \cdot 7^{ 1/3} +c \cdot 7^{2/3} \mid a,b,c \in \Q \right\} }
}
{ \subseteq} { \R
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungvierabc{Zeige, dass $L$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
ist.
}{Stifte einen
\definitionsverweis {surjektiven}{}{}
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\varphi} { \Q[X] } { L
} {.}
}{Bestimme den
\definitionsverweis {Kern}{}{}
von $\varphi$.
}{Zeige, dass $L$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme in $\Q[X]/(X^3+4X^2-7)$ das \definitionsverweis {Inverse}{}{} von ${ \frac{ 1 }{ 3 } } x+5$ \zusatzklammer {$x$ bezeichnet die Restklasse von $X$} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Grad}{}{}
der
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \R
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element. Zeige, dass dann
\mathl{K(f)}{} der
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
von $K[f]$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $K$ und $L$ Körper, es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
und sei $A$,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ A
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
ein Zwischenring. Zeige, dass dann $A$ ebenfalls ein Körper ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ K'
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Zwischenkörper. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {algebraisch}{}{}
über $K$. Zeige, dass dann $f$ auch algebraisch über $K'$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein nicht algebraisches Element. Zeige, dass dann eine Isomorphie
\maabbdisp {} {K(X)} {K(f)
} {}
von Körpern vorliegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien \mathkor {} {p} {und} {q} {} zwei verschiedene \definitionsverweis {Primzahlen}{}{.} Zeige, dass $\Q[\sqrt{p}, \sqrt{q}]$ ein \definitionsverweis {Unterkörper}{}{} von $\R$ ist, der über $\Q$ den \definitionsverweis {Grad}{}{} vier besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{.} Zeige, dass die Anzahl der Elemente von $K$ die Potenz einer \definitionsverweis {Primzahl}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass es zu jeder natürlichen Zahl $n$ eine Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Q
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vom Grad $n$ gibt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme in $\Q[\sqrt{ 11 }]$ das \definitionsverweis {Inverse}{}{} von $3 +5 \sqrt{ 11 }$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5 (1+1+2+1)}
{
Betrachte den
\definitionsverweis {Körper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Z/(13)
}
{ = }{ \{0,1,2,...,12\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit $13$ Elementen.
\aufzaehlungvier{Zeige, dass $5$ kein Quadrat in $\Z/(13)$ ist und folgere, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(13)[X]/(X^2-5)
}
{ \defeqr} { \Z/(13)[{\sqrt{ 5 } }]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Körper ist.
}{Betrachte die
\definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(13)
}
{ \subset} { \Z/(13)[{\sqrt{ 5 } } ]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und berechne
\mathdisp {(2+3{\sqrt{ 5 } }) (1+11{\sqrt{ 5 } } ) (10+7{\sqrt{ 5 } } )} { }
}{Finde das Inverse zu $7+3{\sqrt{ 5 } }$ in $\Z/(13) [{\sqrt{ 5 } }]$.
}{Zeige, dass $-5$ kein Quadrat in $\Z/(13)$ ist, dafür aber in $\Z/(13) [{\sqrt{ 5 } } ]$.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Führe in $(\Q[\sqrt{3}])[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=3X^3-(2+\sqrt{3})X^2+5\sqrt{3}X+1+2\sqrt{3}} {und} {T=\sqrt{3}X^2-X+2+7\sqrt{3}} {} durch.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
von
\mathdisp {\sqrt{3}+ \sqrt{5}} { }
über $\Q$.
}
{} {}