Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 2/latex
\setcounter{section}{2}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Diskutiere den Zusammenhang zwischen \definitionsverweis {ebenen algebraischen Kurven}{}{} und dem Satz über implizite Funktionen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $a$ genau dann eine
\definitionsverweis {mehrfache Nullstelle}{}{}
von $F$ ist, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F'(a)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, wobei $F'$ die
\definitionsverweis {formale Ableitung}{}{}
von $F$ bezeichnet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {positiven Charakteristik}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme die Menge der Polynome
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{ K[T]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\definitionsverweis {formaler Ableitung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F'
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise
den Satz von Schwarz
für den
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} über einem beliebigen
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$, also die Vertauschbarkeit von
\definitionsverweis {formalen partiellen Ableitungen}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F, G
}
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_n ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Polynome. Zeige, dass für die
\definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{}
die Produktregel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \partial_i (FG)
}
{ =} { F \partial_i (G) + G \partial_i (F)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F_1 , \ldots , F_m
}
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G_1 , \ldots , G_k
}
{ \in }{ K[Y_1 , \ldots , Y_m]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Polynome. Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H_i
}
{ =} { G_i(F_1 , \ldots , F_m)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {formalen partiellen Ableitungen}{}{}
die \anfuehrung{formale Kettenregel}{}
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \begin{pmatrix} { \frac{ \partial H _1 }{ \partial X _1 } } & \ldots & { \frac{ \partial H _{1} }{ \partial X _{ n } } } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\{ \frac{ \partial H _{ k } }{ \partial X _1 } } & \ldots & { \frac{ \partial H _{ k } }{ \partial X _{ n } } } \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ \partial G _1 }{ \partial Y _1 } } & \ldots & { \frac{ \partial G _{1} }{ \partial Y _{ m } } } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\{ \frac{ \partial G _{ k } }{ \partial Y _1 } } & \ldots & { \frac{ \partial G _{ k } }{ \partial Y _{ m } } } \end{pmatrix} { \left( { \frac{ F_j }{ Y_j } } \right) } \circ \begin{pmatrix} { \frac{ \partial F _1 }{ \partial X _1 } } & \ldots & { \frac{ \partial F _{1} }{ \partial X _{ n } } } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\{ \frac{ \partial F _{ m } }{ \partial X _1 } } & \ldots & { \frac{ \partial F _{ m } }{ \partial X _{ n } } } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllen, wobei der Ausdruck
\mathl{{ \frac{ F_j }{ Y_j } }}{} bedeutet, dass die Variablen $Y_j$ durch die Polynome $F_j$ zu ersetzen sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Man charakterisiere die Polynome
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{ K[X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Eigenschaft, dass
\aufzaehlungdrei{die erste
\definitionsverweis {partielle Ableitung}{}{,}
}{die zweite partielle Ableitung,
}{beide partiellen Ableitungen
}
$0$ sind.
}
{} {}
Die beiden folgenden Aufgaben beziehen sich auf \definitionsverweis {homogene Polynome}{}{.} Dieses Konzept werden wir in der dritten Vorlesung erläutern.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H
}
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\zusatzklammer {in der
\definitionsverweis {Standardgraduierung}{}{}} {} {}
\definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{}
vom Grad $e$. Zeige die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ e H
}
{ =} { X_1 { \frac{ \partial H }{ \partial X_1 } } + \cdots + X_n { \frac{ \partial H }{ \partial X_n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
\aufzaehlungzweiabc{Zeige, dass formales
\definitionsverweis {partielles Ableiten}{}{}
auf dem Polynomring
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} bezüglich einer Variablen und
\definitionsverweis {Dehomogenisieren}{}{}
bezüglich einer anderen Variablen vertauschbar sind.
}{Zeige, dass dies nicht für die gleiche Variable stimmt.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ \subseteq }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {direkter Summand}{}{}
von
\definitionsverweis {kommutativen Ringen}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ IS
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Zugehörigkeit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
\aufzaehlungzweiabc{Zeige, dass der
\definitionsverweis {Graph}{}{}
eines Polynoms
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {glatte}{}{}
\definitionsverweis {algebraische Kurve}{}{}
ist.
}{Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F,G
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Polynome ohne gemeinsame Nullstelle. Zeige, dass der Graph der
\definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{}
$F/G$ ebenfalls eine glatte algebraische Kurve ist.
}
}
{} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{ \bildeinlesungsvg {Cercle tangente rayon} {svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Cercle tangente rayon.svg } {} {} {Commons} {} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der \definitionsverweis {Einheitskreis}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $\neq 2$ \definitionsverweis {glatt}{}{} ist und bestimme für jeden Punkt die Gleichung der \definitionsverweis {Tangente}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{ K[X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein nichtkonstantes
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
mit einfachen
\definitionsverweis {Primfaktoren}{}{}
und mit zugehöriger
\definitionsverweis {ebener Kurve}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ = }{ V(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $C$ nur endlich viele
\definitionsverweis {singuläre Punkte}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise Lemma 2.5.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Betrachte die beiden reellen Kurven
\mathdisp {V(X^5-X^3+2XY+7Y^2-9)} { }
im Punkt
\mathl{(1,1)}{} und
\mathdisp {V(X^4+Y^4-3X^2Y^2 +5X+7Y)} { }
im Nullpunkt. Sind diese beiden Kurven lokal in den angegebenen Punkten zueinander
\definitionsverweis {diffeomorph}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {singulären Punkte}{}{}
der
\definitionsverweis {ebenen algebraischen Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V { \left( -2X^3+3X^2Y-Y+ \frac{2}{3} \sqrt{\frac{1}{3} } \right) }
}
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{ {\mathbb C}}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
Einige der nächsten Aufgaben verwenden die beiden folgenden Definitionen.
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{ K[X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein von $0$ verschiedenes Polynom. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ C
}
{ = }{ V(F)
}
{ \subset }{ {\mathbb A}^{2}_{ K }
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt der zugehörigen affinen ebenen Kurve, der
\zusatzklammer {nach einer linearen Variablentransformation} {} {}
der Nullpunkt sei. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} { F_d+F_{d-1} + \cdots + F_m
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {homogene Zerlegung}{}{}
von $F$ mit \mathkon { F_d \neq 0 } { und } { F_m \neq 0 }{ ,}
\mathl{d \geq m}{.} Dann heißt $m$ die \definitionswort {Multiplizität}{} der Kurve im Punkt $P$.
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{ K[X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein von $0$ verschiedenes Polynom. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ C
}
{ = }{ V(F)
}
{ \subset }{ {\mathbb A}^{2}_{ K }
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt der zugehörigen affinen ebenen Kurve, der
\zusatzklammer {nach einer linearen Variablentransformation} {} {}
der Nullpunkt sei. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} { F_d+F_{d-1} + \cdots + F_m
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {homogene Zerlegung}{}{}
von $F$ mit \mathkon { F_d \neq 0 } { und } { F_m \neq 0 }{ ,}
\mathl{d \geq m}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F_m
}
{ = }{ G_1 \cdots G_m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Zerlegung in lineare Faktoren. Dann nennt man jede Gerade \mathind { V(G_i) } { i=1 , \ldots , m }{,} eine \definitionswort {Tangente}{} an $C$ im Punkt $P$.
Glattheit ist äquivalent zu Multiplizität $1$, eine große Multiplizität ist also ein Maß für eine Singularität. In diesem Fall gibt es mehrere Tangenten.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H(X)
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ = }{ Y-H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ = }{ V(F)
}
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{ K }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Graph}{}{}
von $H$, aufgefasst als
\definitionsverweis {ebene algebraische Kurve}{}{.}
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { (a,b)
}
{ =} { (a, H(a))
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Punkt des Graphen.
\aufzaehlungzweiabc{Zeige, dass die
\definitionsverweis {Multiplizität}{}{}
von $C$ in $P$ gleich $1$ ist.
}{Zeige, dass die
\definitionsverweis {Tangente}{}{}
in $P$ an $C$ mit der üblichen Tangente an einen Graphen im Punkt $a$ übereinstimmt.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ = }{ 2x^4+3x^2-x+1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegebene Kurve mit dem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ (1,5)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Finde eine Koordinatentransformation derart, dass $P$ zum Punkt $(0,0)$ wird und die Tangente an $P$ zur $x$-Achse.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für die
\definitionsverweis {Kurve}{}{}
\mathl{V { \left( X^3+Y^3-3XY+1 \right) }}{} die
\definitionsverweis {singulären Punkte}{}{}
über $\R$ und über ${\mathbb C}$. Man gebe jeweils die
\definitionsverweis {Multiplizität}{}{}
und die
\definitionsverweis {Tangenten}{}{}
an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G,H
}
{ \in }{ K[X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Polynome mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G(P)
}
{ = }{ H(P)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für einen bestimmten Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb A}^{2}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ = }{ GH
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass jede
\definitionsverweis {Tangente}{}{}
von $G$ in $P$ und jede Tangente von $H$ in $P$ auch eine Tangente von $F$ in $P$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{.}
Betrachte die
\definitionsverweis {Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C
}
{ =} { V(x^3+5x^2y-6xy^2-x^2-xy+4y^2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdreiabc{Bestimme die
\definitionsverweis {Tangenten}{}{}
im Nullpunkt.
}{Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P
}
{ =} { (1,2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Punkt der Kurve ist, und berechne die Tangente(n) von $C$ in $P$ über die Ableitung.
}{Führe eine Variablentransformation durch derart, dass $P$ in den neuen Variablen der Nullpunkt ist, und bestimme die Tangente(n) in $P$ aus der transformierten Kurvengleichung.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für die
\definitionsverweis {algebraische Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C
}
{ =} { V { \left( 9y^4+10x^2y^2+x^4-12y^3-12x^2y+4y^2 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Singularitäten}{}{}
sowie deren
\definitionsverweis {Multiplizitäten}{}{}
und
\definitionsverweis {Tangenten}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.}
Zeige, dass $R$ genau dann ein
\definitionsverweis {lokaler Ring}{}{}
ist, wenn
\mathl{a+b}{} nur dann eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
ist, wenn $a$ oder $b$ eine Einheit ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Zeige die Äquivalenz folgender Aussagen. \aufzaehlungzwei { $R$ hat genau ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{} } {Die Menge der \definitionsverweis {Nichteinheiten}{}{} $R \setminus R^\times$ bildet ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $R$. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {lokaler Ring}{}{} mit \definitionsverweis {Restekörper}{}{} $K$. Zeige, dass $R$ und $K$ genau dann die gleiche \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} haben, wenn $R$ einen \definitionsverweis {Körper}{}{} enthält.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {lokaler Ring}{}{} und ${\mathfrak a}$ ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} von $R$. Zeige, dass \maabbdisp {} { R ^{\times} } { { \left( R/ {\mathfrak a} \right) }^{\times} } {} \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Unterringe}{}{} der \definitionsverweis {rationalen Zahlen}{}{} $\Q$, die \definitionsverweis {lokal}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ K[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass sämtliche
\definitionsverweis {Lokalisierungen}{}{}
von $R$ an
\definitionsverweis {maximalen Idealen}{}{}
zueinander
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und betrachte das Achsenkreuz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} { V(XY)
}
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{ K }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bestimme für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
ob der
\definitionsverweis {lokale Ring}{}{}
an $P$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
ist oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Neilsche Parabel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C
}
{ =} { V(X^2-Y^3)
}
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{ K }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über einem
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{}
$K$. Zeige, dass sämtliche
\definitionsverweis {Lokalisierungen}{}{}
von $C$ an Punkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \neq }{(0,0)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zueinander
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
sind, aber nicht zur Lokalisierung im Nullpunkt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ die
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
im Nullpunkt der Kurve
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C
}
{ =} { V(Y^2-X^2-X^3)
}
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{ K }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und es sei $S$ die Lokalisierung des Achsenkreuzes im Nullpunkt. Sind diese beiden
\definitionsverweis {lokalen Ringe}{}{}
\definitionsverweis {isomorph}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei ${\mathfrak m}$ ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{} mit \definitionsverweis {Lokalisierung}{}{} $R_{\mathfrak m}$. Es sei ${\mathfrak a}$ ein Ideal, dass unter der Lokalisierungsabbildung zum Kern gehört. Zeige, dass dann $R_{\mathfrak m}$ auch eine Lokalisierung von $R/{\mathfrak a}$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und $R$ eine
\definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ = }{ R_{\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
von $R$ an einem
\definitionsverweis {maximalen Ideal}{}{}
${\mathfrak m}$. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Restekörper}{}{}
von $S$
\definitionsverweis {endlich}{}{}
über $K$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei ${\mathfrak p}$ ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{.}
Dann ist der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ = }{ R/{\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
mit
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ = }{ Q(S)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $R_{\mathfrak p}$ ist ein
\definitionsverweis {lokaler Ring}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {maximalen Ideal}{}{}
\mathl{{\mathfrak p}R_{\mathfrak p}}{.} Zeige, dass eine natürliche Isomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Q(S)
}
{ \cong} { R_{\mathfrak p}/ {\mathfrak p} R_{\mathfrak p}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vorliegt.
}
{} {}
Zu einem Element \mathind { f \in R } { f \neq 0 }{,} in einem
\definitionsverweis {diskreten Bewertungsring}{}{}
$R$ mit
\definitionsverweis {Primelement}{}{}
$p$ heißt die Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Eigenschaft
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{ up^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $u$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
bezeichnet, die \definitionswort {Ordnung}{} von $f$. Sie wird mit
\mathl{\operatorname{ord} \, ( f )}{} bezeichnet.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein Körper der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$0$ und sei
\mathbed {f \in K[X]} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {,}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die folgenden \anfuehrung{Ordnungen}{} von $f$ an der Stelle $a$ übereinstimmen.
\aufzaehlungdreiabc{Die Verschwindungsordnung von $f$ an der Stelle $a$, also die maximale Ordnung einer
\definitionsverweis {formalen Ableitung}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f^{(k)}(a)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Der Exponent des Linearfaktors
\mathl{X-a}{} in der Zerlegung von $f$.
}{Die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
von $f$ an der
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
\mathl{K[X]_{(X-a)}}{} von
\mathl{K[X]}{} am
\definitionsverweis {maximalen Ideal}{}{}
\mathl{(X-a)}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{}
mit
\definitionsverweis {maximalem Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ (p)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
\maabbeledisp {} {R \setminus \{0\} } { \N
} { f } { \operatorname{ord} \, ( f )
} {,}
folgende Eigenschaften besitzt.
\aufzaehlungvier{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (fg)
}
{ = }{ \operatorname{ord} \, ( f ) + \operatorname{ord} \, ( g )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (f+g)
}
{ \geq }{ \operatorname{min} \left( \operatorname{ord} \, ( f ) ,\, \operatorname{ord} \, ( g ) \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ {\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, ( f )
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ R ^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, ( f )
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{.}
Definiere zu einem Element
\mathbed {q \in Q(R)} {}
{q \neq 0} {}
{} {} {} {,} die Ordnung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, ( q )
}
{ \in} { \Z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dabei soll die Definition mit der
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
für Elemente aus $R$ übereinstimmen und einen Gruppenhomomorphismus
\maabb {} {Q(R) \setminus \{0\} } { \Z
} {}
definieren. Was ist der Kern dieses Homomorphismus?
}
{} {}