Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Definitionsabfrage

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper. Eine ebene affin-algebraische Kurve über ${\displaystyle {}K}$ ist das Nullstellengebilde ${\displaystyle {}V(F)\subseteq K^{2}}$ eines nicht-konstanten Polynoms ${\displaystyle {}F}$ in zwei Variablen, also

${\displaystyle F=\sum _{0\leq i,j\leq m}\,a_{ij}X^{i}Y^{j}\,({\text{mit }}a_{ij}\in K).}$

D.h. es ist

${\displaystyle V(F)={\left\{(x,y)\in K^{2}\mid F(x,y)=\sum _{0\leq i,j\leq m}\,a_{ij}x^{i}y^{j}=0\right\}}\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei ${\displaystyle {}F_{j}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$, ${\displaystyle {}j\in J}$, eine Familie von Polynomen in ${\displaystyle {}n}$ Variablen. Dann nennt man

${\displaystyle {\left\{P\in {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\mid F_{j}(P)=0{\text{ für alle }}j\in J\right\}}}$

das durch die Familie definierte Nullstellengebilde (oder Nullstellenmenge). Es wird mit ${\displaystyle {}V(F_{j},j\in J)}$ bezeichnet.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei ${\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ der Polynomring in ${\displaystyle {}n}$ Variablen. Dann heißt eine Teilmenge ${\displaystyle {}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}}$ im affinen Raum affin-algebraisch, wenn sie die Nullstellenmenge zu einer Familie ${\displaystyle {}F_{j}}$, ${\displaystyle {}j\in J}$, von Polynomen ${\displaystyle {}F_{j}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ ist, wenn also ${\displaystyle {}V=V(F_{j},j\in J)}$ gilt.

Ein Körper ${\displaystyle {}K}$ heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes nichtkonstante Polynom ${\displaystyle {}F\in K[X]}$ eine Nullstelle in ${\displaystyle {}K}$ besitzt.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper. Eine Körpererweiterung ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ heißt algebraischer Abschluss von ${\displaystyle {}K}$, wenn die Erweiterung algebraisch und ${\displaystyle {}L}$ algebraisch abgeschlossen ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}F\in K[X,Y]}$ ein von ${\displaystyle {}0}$ verschiedenes Polynom. Es sei ${\displaystyle {}P\in C=V(F)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}}$ ein Punkt der zugehörigen affinen ebenen Kurve. Dann heißt ${\displaystyle {}P}$ ein glatter Punkt von ${\displaystyle {}C}$, wenn

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial X}}(P)\neq 0{\text{ oder }}{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)\neq 0}$

gilt. Andernfalls heißt der Punkt singulär.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}F\in K[X,Y]}$ ein von ${\displaystyle {}0}$ verschiedenes Polynom. Man nennt ${\displaystyle {}C=V(F)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}}$ eine glatte Kurve, wenn sie in jedem ${\displaystyle {}L}$- Punkt ${\displaystyle {}P\in C_{L}\subseteq {\mathbb {A} }_{L}^{2}}$ glatt ist.

Ein kommutativer Ring ${\displaystyle {}R}$ heißt lokal, wenn ${\displaystyle {}R}$ genau ein maximales Ideal besitzt.

Ein diskreter Bewertungsring ${\displaystyle {}R}$ ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in ${\displaystyle {}R}$ gibt.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper. Der projektive ${\displaystyle {}n}$-dimensionale Raum ${\displaystyle {}{\mathbb {P} }_{K}^{n}}$ besteht aus allen Geraden des ${\displaystyle {}{{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}}$ durch den Nullpunkt, wobei diese Geraden als Punkte aufgefasst werden. Ein solcher Punkt wird repräsentiert durch homogene Koordinaten ${\displaystyle {}(a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n})}$, wobei nicht alle ${\displaystyle {}a_{i}=0}$ sein dürfen, und wobei zwei solche Koordinatentupel genau dann den gleichen Punkt repräsentieren, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar ${\displaystyle {}\lambda \in K^{\times }}$ ineinander übergehen.

Die Abbildung

${\displaystyle {{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n},\,\left(x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \left(x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right),}$

die einem Punkt ${\displaystyle {}\neq 0}$ die durch diesen Punkt und den Nullpunkt bestimmte Gerade zuordnet, heißt Kegelabbildung.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper. Zu einem homogenen Polynom ${\displaystyle {}F\in K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ bezeichnet man die Menge

${\displaystyle V_{+}(F)={\left\{P=(x_{0},\ldots ,x_{n})\in {\mathbb {P} }_{K}^{n}\mid F(x_{0},\ldots ,x_{n})=0\right\}}\,}$

als die projektive Nullstellenmenge zu ${\displaystyle {}F}$.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ ein Ideal. Das Ideal heißt homogen, wenn für jedes ${\displaystyle {}H\in {\mathfrak {a}}}$ mit der homogener Zerlegung ${\displaystyle {}H=\sum _{i}H_{i}}$ auch ${\displaystyle {}H_{i}\in {\mathfrak {a}}}$ für alle homogenen Bestandteile ${\displaystyle {}H_{i}}$ ist.

Zu einem homogenen Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\subseteq K[X_{0},\ldots ,X_{n}]}$ nennt man

${\displaystyle V_{+}({\mathfrak {a}})={\left\{P=(x_{0},\ldots ,x_{n})\in {\mathbb {P} }_{K}^{n}\mid F(P)=0{\text{ für }}{\text{alle homogenen }}F\in {\mathfrak {a}}\right\}}\,}$

das projektive Nullstellengebilde oder die projektive Varietät zu ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$.

Der projektive Raum ${\displaystyle {}{\mathbb {P} }_{K}^{n}}$ wird mit der Zariski-Topologie versehen, bei der die Mengen ${\displaystyle {}V_{+}({\mathfrak {a}})\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}}$ zu einem homogenen Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\subseteq K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ als abgeschlossen erklärt werden.

Eine projektive ebene Kurve ist die Nullstellenmenge ${\displaystyle {}C=V_{+}(F)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}}$ zu einem homogenen nicht-konstanten Polynom ${\displaystyle {}F\in K[X,Y,Z]}$.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}d\geq 1}$. Dann heißt die ebene projektive Kurve

${\displaystyle {}V(X^{d}+Y^{d}+Z^{d})\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,}$

die Fermat-Kurve vom Grad ${\displaystyle {}d}$.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper. Eine ebene projektive Kurve ${\displaystyle {}C=V_{+}(F)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}}$ zu einem homogenen Polynom ${\displaystyle {}F\in K[X,Y,Z]}$ heißt glatt, wenn sie in jedem ${\displaystyle {}L}$- Punkt ${\displaystyle {}P\in C_{L}\subseteq {\mathbb {P} }_{L}^{2}}$ glatt ist.

Eine glatte ebene projektive Kurve ${\displaystyle {}V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}}$ mit ${\displaystyle {}F\in K[X,Y,Z]}$ homogen vom Grad ${\displaystyle {}3}$, die zumindest einen ${\displaystyle {}K}$- rationalen Punkt besitzt, heißt elliptische Kurve über ${\displaystyle {}K}$.

Eine natürliche Zahl ${\displaystyle {}n\geq 1}$ heißt kongruent, wenn sie als Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks auftritt, dessen Seitenlängen allesamt rationale Zahlen sind.

Es sei ${\displaystyle {}E}$ eine elliptische Kurve über einem Körper ${\displaystyle {}K}$ in kurzer Weierstraßform

${\displaystyle {}y^{2}=x^{3}+ax+b\,.}$

Dann nennt man

${\displaystyle {}\Delta =-16(4a^{3}+27b^{2})\,}$

die Diskriminante von ${\displaystyle {}E}$.

Es sei ${\displaystyle {}E}$ eine elliptische Kurve über einem Körper ${\displaystyle {}K}$ in kurzer Weierstraßform

${\displaystyle {}y^{2}=x^{3}+ax+b\,.}$

Dann nennt man

${\displaystyle {}j={\frac {-12^{3}(4a)^{3}}{\Delta }}\,,}$

wobei ${\displaystyle {}\Delta }$ die Diskriminante zu ${\displaystyle {}E}$ bezeichnet, die ${\displaystyle {}j}$-Invariante von ${\displaystyle {}E}$.

Man sagt, dass eine elliptische Kurve in Legendrescher Normalform vorliegt, wenn sie durch eine Gleichung der Form

${\displaystyle {}y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )\,}$

mit ${\displaystyle {}\lambda \in K\setminus \{0,1\}}$ beschrieben wird.

Es sei ${\displaystyle {}E=V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}}$ eine elliptische Kurve über ${\displaystyle {}K}$ und sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {O}}\in E}$ ein fixierter ${\displaystyle {}K}$- Wendepunkt der Kurve. Zu ${\displaystyle {}K}$-Punkten ${\displaystyle {}P,Q\in E}$ sei ${\displaystyle {}{\overline {P,Q}}}$ die projektive Gerade durch ${\displaystyle {}P}$ und ${\displaystyle {}Q}$, die bei ${\displaystyle {}P=Q}$ als Tangente durch ${\displaystyle {}P}$ zu interpretieren ist, und sei ${\displaystyle {}P\star Q}$ der neben ${\displaystyle {}P}$ und ${\displaystyle {}Q}$ dritte Punkt auf der Kurve. Dann nennt man

${\displaystyle {}-P:={\mathfrak {O}}*P\,}$

das Negative zu ${\displaystyle {}P}$ und

${\displaystyle {}P+Q:=-(P*Q)={\mathfrak {O}}*(P*Q)\,}$

die Summe der beiden Punkte.

Es seien ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n}}$ linear unabhängige Vektoren im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$. Dann heißt die Untergruppe ${\displaystyle {}\mathbb {Z} v_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} v_{n}}$ ein Gitter im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{n}}$.

Unter einem Gitter in den komplexen Zahlen ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ versteht man ein vollständiges Gitter ${\displaystyle {}\Gamma =\mathbb {Z} v_{1}\oplus \mathbb {Z} v_{2}\subset {\mathbb {C} }}$.

Eine komplexe Mannigfaltigkeit ${\displaystyle {}M}$, die zugleich eine Gruppe ist, für die die Gruppenverknüpfung

${\displaystyle \circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,}$

und die Inversenbildung

${\displaystyle M\longrightarrow M,\,x\longmapsto x^{-1},}$

holomorph sind, heißt komplexe Lie-Gruppe.

Unter einem komplexen Torus versteht man den Quotientenraum ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }/\Gamma }$ zu einem Gitter ${\displaystyle {}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }}$.

Zwei Gitter ${\displaystyle {}\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subset {\mathbb {C} }}$ heißen streckungsäquivalent, wenn es eine komplexe Zahl ${\displaystyle {}s\in {\mathbb {C} }}$ mit ${\displaystyle {}\Gamma _{2}=s\Gamma _{1}}$ gibt.

Die Gruppenoperation der Gruppe ${\displaystyle {}\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}}$ auf der oberen Halbebene ${\displaystyle {}{\mathbb {H} }}$ durch

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\tau :={\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\,}$

heißt Modulsubstitution.

Zu komplexen Tori ${\displaystyle {}E_{1}}$ und ${\displaystyle {}E_{2}}$ nennt man einen holomorphen Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle {}\varphi \colon E_{1}\rightarrow E_{2}}$ eine Isogenie

Komplexe Tori ${\displaystyle {}E_{1},E_{2}}$ über ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ heißen isogen, wenn es eine nichtkonstante Isogenie ${\displaystyle {}E_{1}\rightarrow E_{2}}$ gibt.

Es sei ${\displaystyle {}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }}$ ein Gitter und ${\displaystyle {}E={\mathbb {C} }/\Gamma }$ der zugehörige komplexe Torus. Man nennt

${\displaystyle {}\operatorname {End} _{}{\left(E\right)}={\left\{f:E\rightarrow E\mid f{\text{ Isogenie}}\right\}}\,}$

mit der Addition und der Hintereinanderschaltung von Isogenien den Endomorphismenring von ${\displaystyle {}E}$.

Es sei ${\displaystyle {}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }}$ ein Gitter. Eine meromorphe Funktion

${\displaystyle f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }}$

heißt elliptisch bezüglich ${\displaystyle {}\Gamma }$ oder ${\displaystyle {}\Gamma }$-doppeltperiodisch, wenn

${\displaystyle {}f(z)=f(z+v)\,}$

für alle ${\displaystyle {}v\in \Gamma }$ gilt.

Es sei ${\displaystyle {}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }}$ ein Gitter. Die Menge aller elliptischen Funktionen bezüglich ${\displaystyle {}\Gamma }$ mit der natürlichen Addition und Multiplikation nennt man den Körper der elliptischen Funktionen.

Es sei ${\displaystyle {}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }}$ ein Gitter. Man nennt die meromorphe Funktion

${\displaystyle \wp \colon {\mathbb {C} }\setminus \Gamma \longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto {\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{v\in \Gamma '}{\left({\frac {1}{(z-v)^{2}}}-{\frac {1}{v^{2}}}\right)},}$

die Weierstraßsche ${\displaystyle {}\wp }$-Funktion zum Gitter ${\displaystyle {}\Gamma }$.

Es sei ${\displaystyle {}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }}$ ein Gitter und ${\displaystyle {}k\in \mathbb {N} _{\geq 3}}$. Dann heißt

${\displaystyle {}G_{k}(\Gamma ):=\sum _{z\in \Gamma '}{\frac {1}{z^{k}}}\,}$

die Eisensteinreihe zum Gitter ${\displaystyle {}\Gamma }$ und zum Gewicht ${\displaystyle {}k}$.

Es sei ${\displaystyle {}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }}$ ein Gitter. Wir setzen

${\displaystyle {}\Delta (\Gamma ):=g_{2}^{3}(\Gamma )-27g_{3}^{2}(\Gamma )\,}$

und nennen dies die Diskriminante des Gitters ${\displaystyle {}\Gamma }$.

Es seien ${\displaystyle {}C}$ und ${\displaystyle {}D}$ irreduzible algebraische Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${\displaystyle {}K}$ und sei

${\displaystyle \varphi \colon C\longrightarrow D}$

eine endliche Abbildung. Dann nennt man den Grad der zugehörigen Körpererweiterung der Funktionenkörper ${\displaystyle {}Q(D)\subseteq Q(C)}$ den Grad von ${\displaystyle {}\varphi }$.

Zu einem injektiven Ringhomomorphismus ${\displaystyle {}R\subseteq S}$ zwischen diskreten Bewertungsringen nennt man die Ordnung einer Ortsuniformisierenden von ${\displaystyle {}R}$ in ${\displaystyle {}S}$ die Verzweigungsindex der Erweiterung.

Ein injektiver Ringhomomorphismus ${\displaystyle {}R\subseteq S}$ zwischen diskreten Bewertungsringen heißt verzweigt, wenn seine Verzweigungsordnung ${\displaystyle {}\geq 2}$ ist.

Es seien ${\displaystyle {}C}$ und ${\displaystyle {}D}$ irreduzible algebraische Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${\displaystyle {}K}$ und sei

${\displaystyle \varphi \colon C\longrightarrow D}$

eine endliche Abbildung. Man nennt ${\displaystyle {}\varphi }$ separabel, wenn die zugehörige Körpererweiterung der Funktionenkörper ${\displaystyle {}Q(D)\subseteq Q(C)}$ separabel ist.

Es seien ${\displaystyle {}E_{1}}$ und ${\displaystyle {}E_{2}}$ elliptische Kurven über einem Körper ${\displaystyle {}K}$. Eine Isogenie ist ein Morphismus

${\displaystyle \varphi \colon E_{1}\longrightarrow E_{2}}$

mit ${\displaystyle {}\varphi ({\mathfrak {O}}_{1})={\mathfrak {O}}_{2}}$.

Zu einer elliptischen Kurve ${\displaystyle {}E}$ über dem Körper ${\displaystyle {}K}$ nennt man

${\displaystyle {}\operatorname {End} _{}{\left(E\right)}={\left\{f:E\rightarrow E\mid f{\text{ Isogenie }}\right\}}\,}$

mit der Addition und der Hintereinanderschaltung von Isogenien den Endomorphismenring von ${\displaystyle {}E}$.

Es sei ${\displaystyle {}C}$ eine irreduzible glatte Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${\displaystyle {}K}$. Unter einem Weildivisor versteht man eine formale endliche Summe ${\displaystyle {}D=\sum _{P\in C}n_{P}P}$.

Es sei ${\displaystyle {}C}$ eine irreduzible glatte Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${\displaystyle {}K}$ und sei ${\displaystyle {}f\in Q(C)}$, ${\displaystyle {}f\neq 0}$, ein Element des Funktionenkörpers. Man nennt ${\displaystyle {}\operatorname {div} {\left(f\right)}=\sum _{P\in C}\operatorname {ord} _{P}\,(f)P}$ den Hauptdivisor zu ${\displaystyle {}f}$.

Es sei ${\displaystyle {}C}$ eine irreduzible glatte Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${\displaystyle {}K}$ mit Funktionenkörper ${\displaystyle {}Q(C)}$. Dann nennt man die Restklassengruppe

${\displaystyle {}\operatorname {DKG} {\left(C\right)}=\operatorname {Div} \,(C)/\operatorname {HDiv} \,(C)\,}$

die Divisorenklassengruppe von ${\displaystyle {}C}$.

Es sei ${\displaystyle {}C}$ eine glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${\displaystyle {}K}$. Zu einem Weildivisor ${\displaystyle {}D=\sum _{P\in C}n_{P}P}$ auf ${\displaystyle {}C}$ ist der Grad als

${\displaystyle {}\operatorname {deg} {\left(D\right)}:=\sum _{P\in C}n_{P}\,}$

definiert.

Zu einem nichtkonstanten Morphismus

${\displaystyle \varphi \colon C_{1}\longrightarrow C_{2}}$

zwischen glatten Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und einem Weildivisor ${\displaystyle {}D=\sum _{P}a_{P}\cdot P}$ auf ${\displaystyle {}C_{2}}$ nennt man

${\displaystyle {}\varphi ^{*}D:=\sum _{Q\in C_{1}}\operatorname {Verz} {\left(Q{|}\varphi (Q)\right)}a_{\varphi (Q)}\cdot Q\,}$

den zurückgezogenen Weildivisor.

Es sei ${\displaystyle {}C}$ eine glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${\displaystyle {}K}$. Man nennt

${\displaystyle {}\operatorname {DKG} _{0}{\left(C\right)}=\operatorname {Div} _{0}\,(C)/\operatorname {HDiv} \,(C)\,}$

die Divisorenklassengruppe vom Grad 0 zu ${\displaystyle {}C}$.

Zu einem nichtkonstanten Morphismus

${\displaystyle \varphi \colon C_{1}\longrightarrow C_{2}}$

zwischen glatten Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und einem Weildivisor ${\displaystyle {}D=\sum _{P}n_{P}\cdot P}$ auf ${\displaystyle {}C_{1}}$ nennt man

${\displaystyle {}\varphi _{*}D:=\sum _{P\in C_{1}}n_{P}\varphi (P)=\sum _{Q\in C_{2}}{\left(\sum _{P\in \varphi ^{-1}(Q)}n_{P}\right)}Q\,}$

den vorgeschobenen Weildivisor.

Es sei ${\displaystyle {}E}$ eine elliptische Kurve über einem Körper ${\displaystyle {}K}$. Dann nennt man den Rang der kommutativen Gruppe ${\displaystyle {}E(K)}$ den Rang von ${\displaystyle {}E}$.

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eine kommutative Gruppe und ${\displaystyle {}\ell }$ eine Primzahl. Unter dem ${\displaystyle {}\ell }$-adischen Tate-Modul von ${\displaystyle {}G}$ versteht man die Gruppe

${\displaystyle {}T_{\ell }(G)=\varprojlim _{n\in \mathbb {N} }G[\ell ^{n}]\,,}$

wobei ${\displaystyle {}G[\ell ^{n}]}$ die Torsionsuntergruppe der Ordnung ${\displaystyle {}\ell ^{n}}$ bezeichnet.

Zu einer elliptischen Kurve über einem Körper ${\displaystyle {}K}$ und einer Primzahl ${\displaystyle {}\ell }$ versteht man unter dem ${\displaystyle {}\ell }$-adischen Tate-Modul den projektiven Limes

${\displaystyle {}T_{\ell }(E)=\varprojlim _{n\in \mathbb {N} }E[\ell ^{n}]=\varprojlim _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {Tor} _{\ell ^{n}}{\left(E({\overline {K}})\right)}\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eine kommutative Gruppe und sei

${\displaystyle h\colon G\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}}$

eine Funktion. Wir nennen ${\displaystyle {}h}$ eine schwache Höhenfunktion, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

1. Zu ${\displaystyle {}P\in G}$ gibt es eine reelle Zahl ${\displaystyle {}S_{1}}$ derart, dass

   ${\displaystyle {}h(P+Q)\leq 2h(Q)+S_{1}\,}$

   für alle ${\displaystyle {}Q\in G}$ gilt.

2. Es gibt eine natürliche Zahl ${\displaystyle {}m\in \mathbb {N} _{\geq 2}}$ und eine Konstante ${\displaystyle {}S_{2}}$ derart, dass

   ${\displaystyle {}h(mP)\geq m^{2}h(P)-S_{2}\,}$

   für alle ${\displaystyle {}P\in G}$ gilt.

3. Für jede Schranke ${\displaystyle {}S}$ ist die Menge

   ${\displaystyle {\left\{x\in G\mid h(x)\leq S\right\}}}$

   endlich.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper. Eine Funktion

${\displaystyle \vert {-}\vert \colon K\longrightarrow \mathbb {R} ,\,f\longmapsto \vert {f}\vert }$

heißt Betrag (oder Absolutbetrag) auf ${\displaystyle {}K}$, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind.

1. Es ist ${\displaystyle {}\vert {f}\vert \geq 0}$ für alle ${\displaystyle {}f}$.
2. Es ist ${\displaystyle {}\vert {f}\vert =0}$ genau dann, wenn ${\displaystyle {}f=0}$ ist.
3. Es ist

   ${\displaystyle {}\vert {fg}\vert =\vert {f}\vert \cdot \vert {g}\vert \,.}$

4. Es ist

   ${\displaystyle {}\vert {f+g}\vert \leq \vert {f}\vert +\vert {g}\vert \,.}$

Ein Betrag

${\displaystyle \vert {-}\vert \colon K\longrightarrow \mathbb {R} }$

auf einem Körper ${\displaystyle {}K}$ heißt archimedisch, wenn die Menge ${\displaystyle {}\mathbb {N} }$ in ${\displaystyle {}K}$ nicht beschränkt ist.

Unter ${\displaystyle {}M_{\mathbb {Q} }}$ versteht man die Menge bestehend aus dem archimedischen Standardbetrag

${\displaystyle {}\vert {-}\vert =\vert {-}\vert _{\infty }\,}$

und aus den Beträgen ${\displaystyle {}\vert {-}\vert _{p}}$ zu jeder Primzahl ${\displaystyle {}p}$, die durch

${\displaystyle {}\vert {f}\vert _{p}:=p^{-\operatorname {ord} _{p}\,(f)}\,}$

gegeben sind.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Zahlkörper. Mit ${\displaystyle {}M_{K}}$ bezeichnet man die Menge der Beträge auf ${\displaystyle {}K}$, deren Einschränkung auf ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ mit einem rationalen Standardbetrag übereinstimmt.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Zahlkörper und sei ${\displaystyle {}P\in {\mathbb {P} }_{K}^{m}}$ ein ${\displaystyle {}K}$-Punkt mit den homogenen Koordinaten ${\displaystyle {}P=\left(x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{m}\right)}$. Dann versteht man unter der Höhe (über ${\displaystyle {}K}$) von ${\displaystyle {}P}$ die reelle Zahl

${\displaystyle {}H_{K}(P):=\prod _{v\in M_{K}}\max\{\vert {x_{0}}\vert _{v}^{n_{v}},\vert {x_{1}}\vert _{v}^{n_{v}},\ldots ,\vert {x_{m}}\vert _{v}^{n_{v}}\}=\prod _{v\in M_{K}}\max\{\Vert {x_{0}}\Vert _{v},\Vert {x_{1}}\Vert _{v},\ldots ,\Vert {x_{m}}\Vert _{v}\}\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}P\in {\mathbb {P} }_{}^{m}({\overline {\mathbb {Q} }})}$ und sei ${\displaystyle {}K}$ ein Zahlkörper, über den der Punkt ${\displaystyle {}P}$ definiert ist. Dann nennt man

${\displaystyle {}H(P):=H_{K}(P)^{\frac {1}{\operatorname {grad} _{\mathbb {Q} }K}}={\sqrt[{\operatorname {grad} _{\mathbb {Q} }K}]{H_{K}(P)}}\,}$

die absolute Höhe von ${\displaystyle {}P}$.

Zu ${\displaystyle {}P\in {\mathbb {P} }_{}^{m}({\overline {\mathbb {Q} }})}$ nennt man

${\displaystyle {}h(P):=\ln H(P)\,,}$

wobei ${\displaystyle {}H(P)}$ die absolute Höhe von ${\displaystyle {}P}$ bezeichnet, die logarithmische Höhe von ${\displaystyle {}P}$.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eine Varietät über einem endlichen Körper ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{q}}$ und es bezeichne ${\displaystyle {}N_{r}}$ die Anzahl der Punkte von ${\displaystyle {}X({\mathbb {F} }_{q^{r}})}$. Dann nennt man

${\displaystyle {}Z(t)=Z(X;t)=\exp \left(\sum _{r=1}^{\infty }N_{r}{\frac {t^{r}}{r}}\right)\,}$

die Zeta-Funktion von ${\displaystyle {}X}$.

Es sei ${\displaystyle {}E=V_{+}(F)}$ eine elliptische Kurve über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ mit einem homogenen kubischen ganzzahligen Polynom ${\displaystyle {}F\in \mathbb {Z} [X,Y,Z]}$ und sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl. Man sagt, dass ${\displaystyle {}E}$ gute Reduktion modulo ${\displaystyle {}p}$ besitzt, wenn ${\displaystyle {}E_{p}}$ glatt ist, und andernfalls, dass ${\displaystyle {}E}$ schlechte Reduktion modulo ${\displaystyle {}p}$ besitzt.

Es sei ${\displaystyle {}E=V_{+}(F)}$ eine elliptische Kurve über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ mit ${\displaystyle {}F\in \mathbb {Z} [X,Y,Z]}$ und sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl. Man sagt, dass ${\displaystyle {}E}$ additive Reduktion modulo ${\displaystyle {}p}$ besitzt, wenn ${\displaystyle {}E_{p}}$ irreduzibel ist und einen singulären Punkt mit einer Tangentenrichtung besitzt.

Es sei ${\displaystyle {}E=V_{+}(F)}$ eine elliptische Kurve über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ mit ${\displaystyle {}F\in \mathbb {Z} [X,Y,Z]}$ und sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl. Man sagt, dass ${\displaystyle {}E}$ multiplikative Reduktion modulo ${\displaystyle {}p}$ besitzt, wenn ${\displaystyle {}E_{p}}$ irreduzibel ist und einen singulären Punkt mit zwei Tangentenrichtungen besitzt.

Es sei ${\displaystyle {}E=V_{+}(F)}$ eine elliptische Kurve über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ mit ${\displaystyle {}F\in \mathbb {Z} [X,Y,Z]}$ und sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl. Man sagt, dass ${\displaystyle {}E}$ spaltende multiplikative Reduktion modulo ${\displaystyle {}p}$ besitzt, wenn ${\displaystyle {}E_{p}}$ irreduzibel ist und einen singulären Punkt mit zwei Tangentenrichtungen besitzt, die über ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$ definiert sind.

Zu einer elliptischen Kurve ${\displaystyle {}E}$ über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ in ganzzahliger Darstellung definiert man die ${\displaystyle {}L}$-Reihe unter Verwendung der Definition 26.11 durch

${\displaystyle {}L(E,s)=\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}k\in \mathbb {Z} }$. Eine meromorphe Funktion ${\displaystyle {}f\colon {\mathbb {H} }\rightarrow {\mathbb {C} }}$ auf der oberen Halbebene ${\displaystyle {}{\mathbb {H} }}$ heißt Modulfunktion vom Gewicht ${\displaystyle {}k}$, wenn

${\displaystyle {}f(Mz)=(cz+d)^{k}f(z)\,}$

für alle

${\displaystyle {}M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\,}$

gilt und wenn ${\displaystyle {}f}$ meromorph in ${\displaystyle {}\infty }$ ist.

Eine Modulfunktion ${\displaystyle {}f\colon {\mathbb {H} }\rightarrow {\mathbb {C} }}$ auf der oberen Halbebene ${\displaystyle {}{\mathbb {H} }}$ vom Gewicht ${\displaystyle {}k}$ heißt Modulform, wenn sie holomorph in ${\displaystyle {}{\mathbb {H} }}$ und holomorph in ${\displaystyle {}\infty }$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}N\in \mathbb {N} }$. Die Untergruppe

${\displaystyle \Gamma (N)={\left\{M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\mid M=E_{2}\mod N\right\}}={\left\{M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\mid a,d=1\mod N,\,b,c=0\mod N\right\}}\subseteq \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\,}$

heißt Hauptkongruenzgruppe zur Stufe ${\displaystyle {}N}$.