Kurs:Funktionalanalysis/Hahn-Banach - komplexer Fall

Es seien nun

• ${\displaystyle U\subseteq V}$ ein Untervektorraum eines ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Vektorraumes ${\displaystyle V}$;
• ${\displaystyle p\colon V\to \mathbb {R} _{o}^{+}}$ eine Halbnorm;
• ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$ ein lineares Funktional, für das ${\displaystyle |f(u)|\leq p(u)}$ für alle ${\displaystyle u\in U}$ gilt.

Dann gibt es ein lineares Funktional ${\displaystyle F\colon V\to \mathbb {C} }$, so dass

• ${\displaystyle F|_{U}=f}$ und.
• ${\displaystyle |F(v)|\leq p(v)}$ für alle ${\displaystyle v\in V}$ gilt.

Der folgenden Beweis geht auf Bohnenblust und Sobczyk^[1] aus dem Jahr 1938 zurück. Bohnenblust und Sobczyk haben den reellen Fall von Hahn-Banach auf Banachräume über dem Körper ${\displaystyle \mathbb {C} }$ erweitert.

Der Beweis nutzt den Satz von Hahn-Banach in ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Daher gliedert sich der Beweis in vier Teile:

• Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion einer linearen Abbildung,
• Die Erweiterung der linearen Realteilfunktion ${\displaystyle g:U\to \mathbb {R} }$ mit dem reellen Hahn-Banach zu ${\displaystyle G:V\to \mathbb {R} }$ und Definition der komplexen Erweiterung ${\displaystyle F:V\to \mathbb {C} }$
• ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Linerarität von ${\displaystyle F}$ aus ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Linerarität von ${\displaystyle G}$ folgern.
• Nachweis der Eigenschaften ${\displaystyle F|_{U}=f}$ und ${\displaystyle \vert F(v)\vert \leq p(v)}$ für alle ${\displaystyle v\in V}$.

Sei ${\displaystyle {\widehat {f}}\colon {\widehat {U}}\to \mathbb {C} }$ ein ${\displaystyle \mathbb {C} }$-lineares Funktional auf einem beliebigen Untervektorraum ${\displaystyle {\widehat {U}}\subseteq V}$. Nun definiert man die Realteilfunktion und Imaginärteilfunktionen als reellwertige Abbildung wie folgt.

Wir zeigen nun für ${\displaystyle {\widehat {f}}={\hat {g}}+i{\hat {h}}}$ in Beweisteil 1, dass die so definierten Abbildungen ${\displaystyle {\hat {g}},{\hat {h}}}$ auch ${\displaystyle \mathbb {R} }$-lineare Abbildungen sind.

Der im Folgende behandelte Zusammenhang zwischen Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion von einem linearen Funktional ${\displaystyle {\widehat {f}}\colon {\widehat {U}}\to \mathbb {C} }$ wird später sowohl für eine gegebene Funktion ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$ auf ${\displaystyle {\widehat {U}}:=U}$ als auch für die Erweiterung ${\displaystyle F\colon V\to \mathbb {C} }$ auf ganz ${\displaystyle V}$ mit ${\displaystyle {\widehat {U}}:=V}$ verwendet.

Seien nun ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle u_{1},u_{2}\in {\widehat {U}}}$. Dann liefert die ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Linearität von ${\displaystyle {\widehat {f}}\colon {\widehat {U}}\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\hat {g}}(\lambda _{1}u_{1}+\lambda _{2}u_{2})&+&i\cdot {\hat {h}}(\lambda _{1}u_{1}+\lambda _{2}u_{2})={\widehat {f}}(\lambda _{1}u_{1}+\lambda _{2}u_{2})\\&=&\lambda _{1}{\widehat {f}}(u_{1})+\lambda _{2}{\widehat {f}}(u_{2})\\&=&\lambda _{1}\left({\hat {g}}(u_{1})+i\cdot {\hat {h}}(u_{1})\right)+\lambda _{2}\left({\hat {g}}(u_{2})+i\cdot {\hat {h}}(u_{2})\right)\\&=&\left(\lambda _{1}{\hat {g}}(u_{1})+\lambda _{2}{\hat {g}}(u_{2})\right)+i\cdot \left(\lambda _{1}{\hat {h}}(u_{1})+\lambda _{2}{\hat {h}}(u_{2})\right)\\\end{array}}}$

Zwei komplexe Zahlen sind genau dann gleich, wenn der Realteil und der Imaginärteil der beiden Zahlen übereinstimmen. D.h. aus

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\hat {g}}(\lambda _{1}u_{1}+\lambda _{2}u_{2})&+&i\cdot {\hat {h}}(\lambda _{1}u_{1}+\lambda _{2}u_{2})=\\&=&\left(\lambda _{1}{\hat {g}}(u_{1})+\lambda _{2}{\hat {g}}(u_{2})\right)+i\cdot \left(\lambda _{1}{\hat {h}}(u_{1})+\lambda _{2}{\hat {h}}(u_{2})\right)\end{array}}}$

Also liefert der Realteil- und Imaginärteilvergleich.

• ${\displaystyle {\hat {g}}(\lambda _{1}u_{1}+\lambda _{2}u_{2})=\lambda _{1}{\hat {g}}(u_{1})+\lambda _{2}{\hat {g}}(u_{2})}$ und
• ${\displaystyle {\hat {h}}(\lambda _{1}u_{1}+\lambda _{2}u_{2})=\lambda _{1}{\hat {h}}(u_{1})+\lambda _{2}{\hat {h}}(u_{2})}$.

Damit sind die Funktionen ${\displaystyle {\hat {g}}}$ und ${\displaystyle {\hat {h}}}$ auch ${\displaystyle \mathbb {R} }$-linear.

Die Funktionen ${\displaystyle {\hat {g}}}$ und ${\displaystyle {\hat {h}}}$ können aber nicht unabhängig ${\displaystyle \mathbb {R} }$-linear definiert werden. Sie sind abhängig. Dies zeigt:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\hat {g}}(i\cdot u)+i\cdot {\hat {h}}(i\cdot u)&=&{\widehat {f}}(i\cdot u)=i\cdot {\widehat {f}}(u)\\&=&i\cdot \left({\hat {g}}(u)+i\cdot {\hat {h}}(u)\right)\\&=&i\cdot {\hat {g}}(u)-{\hat {h}}(u)\\\end{array}}}$

Analog erhält man durch Vergleich von Realteil und Imaginärteil die Gleichungen ${\displaystyle {\hat {g}}(i\cdot u)=-{\hat {h}}(u)}$ und ${\displaystyle {\hat {h}}(i\cdot u)={\hat {g}}(u)}$.

Durch Anwendung des Realteil- und Imaginärteilvergleichs erhält man mit ${\displaystyle 1=-i^{2}}$ folgende Gleichungskette:

${\displaystyle {\hat {h}}(u)={\hat {h}}\left(-i^{2}u\right)=-{\hat {h}}\left(i^{2}u\right)=-{\hat {g}}\left(iu\right)}$

Damit kann man ${\displaystyle {\hat {h}}(u)}$ durch ${\displaystyle -{\hat {g}}\left(iu\right)}$ ersetzen und erhält:

${\displaystyle {\widehat {f}}(u)={\hat {g}}\left(u\right)-i\cdot {\hat {g}}\left(i\cdot u\right){\mbox{ für alle }}u\in {\widehat {U}}}$

Durch den ersten Beweisteil wurde gezeigt, dass ein komplexwertiges lineares Funktionals ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$ bereits durch die ${\displaystyle \mathbb {R} }$-lineare Realteilfunktion ${\displaystyle g:U\to \mathbb {C} }$ eindeutig bestimmt ist und die Imaginärteilfunktion ${\displaystyle h:U\to \mathbb {C} }$ über ${\displaystyle h(u)=-g(i\cdot u)}$ eindeutig durch ${\displaystyle g}$ definiert ist. Auf ${\displaystyle g}$ wird nun der reelle Hahn-Banach angewendet.

Zunächst einmal muss man nachweisen, dass die Voraussetzung für die Anwendung des Hahn-Banach - reellwertiger Fall für die Halbnormbeschränkung gegeben sind. Für alle ${\displaystyle u\in U}$ gilt:

${\displaystyle g(u)\leq |g(u)|={\sqrt {(g(u))^{2}}}\leq {\sqrt {(g(u))^{2}+(h(u))^{2}}}=|f(u)|}$

Da nach Voraussetzung mit ${\displaystyle |f(u)|\leq p(u)}$ für alle ${\displaystyle u\in U}$ gilt mit dem Beweisschritt 2.1 die Abschätzung:

${\displaystyle g(u)\leq |g(u)|\leq |f(u)|\leq p(u)}$

Mit ${\displaystyle \mathbb {R} \subset \mathbb {C} }$ kann man den Grundraum ${\displaystyle V}$ und den Untervektorraum ${\displaystyle U}$ auch als reellen Vektorraum auffassen, auf dem das ${\displaystyle \mathbb {R} }$-lineare Funktional ${\displaystyle g:U\to \mathbb {R} }$ definiert ist. Durch Anwendung des reellen Falles von Hahn-Banach erhält man ein lineares Funktional ${\displaystyle G\colon V\to \mathbb {R} }$, so dass

• ${\displaystyle G|_{U}=g}$ und.
• ${\displaystyle G(v)\leq p(v)}$ für alle ${\displaystyle v\in V}$ gilt.

Man definiert nun die Abbildung ${\displaystyle F\colon V\to \mathbb {C} }$ wie bzgl. Beweisteil 1 folgt:

${\displaystyle F(x):=G(x)-i\cdot G(i\cdot x){\mbox{ für alle }}x\in V}$

wobei ${\displaystyle F}$ ebenso wie ${\displaystyle G}$ auch ${\displaystyle \mathbb {R} }$-linear ist.

In Beweisteil 1 wurde gezeigt, dass jedes ${\displaystyle \mathbb {C} }$-lineare Funktional ${\displaystyle {\widehat {f}}:{\widehat {U}}\to \mathbb {C} }$ bereits durch ein ${\displaystyle \mathbb {R} }$-lineare Funktional ${\displaystyle {\widehat {g}}:{\widehat {U}}\to \mathbb {C} }$ definiert ist. Zu zeigen ist noch, dass die über

${\displaystyle F(x):=G(x)-i\cdot G(i\cdot x){\mbox{ für alle }}x\in V}$

auch ${\displaystyle \mathbb {C} }$-linear ist.

In den folgenden Gleichungsketten wird eine grundlegende Umformung in den komplexen Zahlen verwendet, die in Gleichungsketten dabei hilft, ein fehlendes ${\displaystyle i}$ in einem Term zu ergänzen. Diese Ergänzung erfolgt durch eine Ersetzung der 1:

${\displaystyle 1=-i^{2}=-i\cdot i}$

Für ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in V}$ gilt ${\displaystyle G(x_{2})=-i\cdot iG(x_{2})}$:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}F(x_{1}+x_{2})&=&G(x_{1}+x_{2})-i\cdot G\left(i\cdot (x_{1}+x_{2})\right)\\&=&G(x_{1})+G(x_{2})-i\cdot \left(G(i\cdot x_{1})+G(i\cdot x_{2})\right)\\&=&\left(G(x_{1})-i\cdot G(i\cdot x_{1})\right)+i\cdot \left(G(x_{2})-i\cdot G(i\cdot x_{2})\right)\\&=&F(x_{1})+F(x_{2})\end{array}}}$

Für ${\displaystyle x\in V}$, ${\displaystyle \lambda =\lambda _{1}+i\lambda _{2}\in \mathbb {C} }$ und ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {R} }$gilt:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}F(\lambda \cdot x)&=&F((\lambda _{1}+i\lambda _{2})\cdot x)\\&=&G((\lambda _{1}+i\lambda _{2})\cdot x)-i\cdot G\left(i\cdot (\lambda _{1}+i\lambda _{2})\cdot x\right)\\&=&\lambda _{1}G(x)+i\cdot \lambda _{2}G(x)-i\cdot \left(\lambda _{1}G(i\cdot x)+\lambda _{2}iG(i\cdot x)\right)\\&=&(\lambda _{1}+i\lambda _{2})\cdot \left(G(x)-i\cdot G(i\cdot x)\right){\mbox{ mit }}\lambda _{2}G(ix)=-i\lambda _{2}iG(ix)\\&=&(\lambda _{1}+i\lambda _{2})\cdot F(x)=\lambda \cdot F(x)\end{array}}}$

Mit Beweisteil 3 existiert nun ein lineares Funktional ${\displaystyle F:V\to \mathbb {C} }$ für das noch die beiden Eigenschaften aus der Behauptung nachgewiesen werden müssen. Der reelle Fall von Hahn-Banach liefert zunächst nur die Eigenschaften für ${\displaystyle G:V\to \mathbb {R} }$. Also bleibt zu zeigen:

• ${\displaystyle F|_{U}=f}$ und.
• ${\displaystyle |F(v)|\leq p(v)}$ für alle ${\displaystyle v\in V}$ gilt.

Sei ${\displaystyle u\in U}$ beliebig gewählt. Weil ${\displaystyle U}$ ein Untervektorraum des ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Vektorraumes ${\displaystyle V}$ ist, liegt auch ${\displaystyle i\cdot u\in U}$. Damit erhält man:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}F(u)&=&G(u)-i\cdot G(\underbrace {i\cdot u} _{\in U}){\mbox{ nach Definition von }}F\\&=&g(u)-i\cdot g(i\cdot u){\mbox{ wegen }}G|_{U}=g\\&=&f(u)\end{array}}}$

Für den Nachweis der Ungleichung ${\displaystyle F(x)\leq p(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in V}$ erfolgt eine Fallunterscheidung für:

• ${\displaystyle F(x)=0}$ und
• ${\displaystyle F(x)\not =0}$.

Fall ${\displaystyle F(x)=0}$: Da ${\displaystyle p:V\to \mathbb {R} }$ eine Halbnorm ist, gilt ${\displaystyle p(x)\geq 0}$. Damit erhält man für ${\displaystyle F(x)=0}$ die Gültigkeit der Ungleichung direkt über:

${\displaystyle F(x)=|F(x)|=0\leq p(x)}$

Fall ${\displaystyle F(x)\not =0}$: Im zweiten Fall sei nun ${\displaystyle |F(x)|=r>0}$ mit ${\displaystyle F(x)=r\cdot e^{i\alpha }}$, ${\displaystyle r\in \mathbb {R} ^{+}}$ und ${\displaystyle \alpha \in [0,2\pi ]}$. Mit ${\displaystyle e^{-i\alpha }}$ dreht man das komplexwertige ${\displaystyle F(x)\not =0}$ so um den Nullpunkt in der Gaußschen Zahlenebene, dass ${\displaystyle F(x)\cdot e^{-i\alpha }}$ so, dass ${\displaystyle F(x)\cdot e^{-i\alpha }=|F(x)|}$ gilt und damit auf der positiven reellen Achse in der Gaußschen Zahlenebene liegt.

Damit erhält man folgende Ungleichung:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\underbrace {|F(x)|} _{\in \mathbb {R} ^{+}}&=&r=\underbrace {e^{-i\alpha }\cdot e^{i\alpha }} _{e^{0}=1}\cdot r=e^{-i\alpha }\cdot \underbrace {F(x)} _{=e^{i\alpha }\cdot r}\\&=&F\left(e^{-i\alpha }\cdot x\right){\mbox{ da }}F\ \mathbb {C} {\mbox{-linear ist}}\\&=&\underbrace {G\left(e^{-i\alpha }\cdot x\right)} _{=r}-i\underbrace {G\left(i\cdot e^{-i\alpha }\cdot x\right)} _{=0}\quad \quad Im(|F(x)|=0{\text{, da}}|F(X)|\in \mathbb {R} \\&=&\underbrace {G\left(e^{-i\alpha }\cdot x\right)\leq p\left(e^{-i\alpha }\cdot x\right)} _{G(z)\leq p(z){\mbox{ mit }}z:=e^{-i\alpha }\cdot x}=\underbrace {|e^{-i\alpha }|} _{=1}\cdot p(x)=p(x)\end{array}}}$

mit ${\displaystyle e^{i\alpha }=\cos(\alpha )+i\cdot \sin(\alpha )}$ für alle ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$.

Damit besitzt insgesamt das lineares Funktional ${\displaystyle F\colon V\to \mathbb {C} }$ die folgenden beiden Eigenschaften:

• ${\displaystyle F|_{U}=f}$ und.
• ${\displaystyle |F(v)|\leq p(v)}$ für alle ${\displaystyle v\in V}$

Damit folgt der komplexe Fall von Hahn-Banach. q.e.d.

• Realteil- und Imaginärteilfunktion
• Kurs:Funktionalanalysis/Satz von Hahn-Banach
• Kurs:Funktionalanalysis/Hahn-Banach - reeller Fall
• Kurs:Funktionalanalysis/Hahn-Banach - normierte Räume
• Komplexe Zahlen - (Foliensatz)
• Komplexe Zahlen in Maxima CAS

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1. ↑ Bohnenblust, H. F.; Sobczyk, A. Extensions of functionals on complex linear spaces. Bull. Amer. Math. Soc. 44 (1938), no. 2, 91--93. https://projecteuclid.org/euclid.bams/1183500302