Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras

Sei ${\displaystyle (V,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ein (Prä-)Hilbertraum. Zwei Vektoren ${\displaystyle v,w\in V}$ heißen orthogonal, wenn für das Skalarprodukt ${\displaystyle \langle v,w\rangle =0}$ gilt. Bezeichnung ${\displaystyle v\bot w}$

Sei ${\displaystyle (V,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ein (Prä-)Hilbertraum. Ferner sind zwei orthogonale Vektoren ${\displaystyle v,w\in V}$ (${\displaystyle v\bot w}$) gegeben. Dann gilt für die orthogonalen Vektoren der Satz des Pythagoras.

${\displaystyle \|v+w\|^{2}=\|v\|^{2}+\|w\|^{2}}$,

Nutzen Sie die Eigenschaften des Skalarproduktes über ${\displaystyle \mathbb {C} }$, um den obigen Satz des Pythagoras zu beweisen.

Der Satz des Pythagoras kann auch auf eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}\in V}$ erweitert werden und es gilt dann

${\displaystyle \|v_{1}+\dotsb +v_{n}\|^{2}=\|v_{1}\|^{2}+\dotsb +\|v_{n}\|^{2}}$.

Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden in einem Hilbertraum ist die Parsevalsche Gleichung

Mit ${\displaystyle V={\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {K} )}$ und ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} )}$ ist die innere Verknüpfung wie folgt definiert:

${\displaystyle +:V\times V\to V}$ mit ${\displaystyle (f,g)\mapsto f+g:=h}$ und ${\displaystyle h(x):=f(x)+g(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in [a,b]}$.

Die äußere Verknüfung ist ebenfalls durch die Multiplikation der Funktionswerte mit dem Skalar argumentweise für jedes ${\displaystyle x\in [a,b]}$ definert:

${\displaystyle \cdot :\mathbb {K} \times V\to V}$ mit ${\displaystyle (\lambda ,f)\mapsto \lambda \cdot f:=h}$ und ${\displaystyle h(x):=\lambda \cdot f(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in [a,b]}$.

Mit dem Skalarprodukt ${\displaystyle \textstyle \langle f,g\rangle _{V}=\int _{a}^{b}{\overline {f(x)}}\,g(x)\,{\rm {d}}x}$ ist ${\displaystyle (V,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ein Prä-Hilbertraum, zeigen Sie, dass der Raum nicht vollständig ist.

Sei ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$, ${\displaystyle a=0}$ und ${\displaystyle b=2\pi }$. Zeigen Sie, dass die Funktionen ${\displaystyle f(x)=sin(x)}$ und die Funktion ${\displaystyle g(x)=4}$ orthogonal sind, also ${\displaystyle \langle f,\cdot g\rangle =0}$ gilt. Berechnen Sie die Längen der Katheten ${\displaystyle f,g}$ und der Hypotenuse ${\displaystyle f+g}$!

• Orthogonalität
• Hilbert-Raum
• Satz des Thales

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