Kurs:Funktionentheorie/Übungen/1. Zettel

Abgabe bis 3. November 2017, 10:15

Berechne folgende komplexen Zahlen:

1. ${\displaystyle (1+4i)\cdot (3+5i)}$
2. ${\displaystyle {\frac {1+4i}{3+5i}}}$
3. ${\displaystyle i^{2018}}$
4. ${\displaystyle (1+i)^{8}}$
5. ${\displaystyle (1+i)^{2018}}$

In der Vorlesung wurde besprochen, dass ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ein Körper ist. Zeige folgende Rechengesetze für komplexe Zahlen:

1. Assoziativität der Multiplikation ${\displaystyle \forall z,v,w\in \mathbf {C} :(z\cdot v)\cdot w=z\cdot (v\cdot w)}$
2. Distributivität der Mulltiplikation über die Addition: ${\displaystyle \forall z,v,w\in \mathbf {C} :(z+v)\cdot w=z\cdot w+v\cdot w}$

Bestimme alle ${\displaystyle z\in \mathbf {C} }$, die folgende Gleichungen erfüllen:

1. ${\displaystyle (3+i)z+(3+4i)=4+5i}$
2. ${\displaystyle (2+i)z^{2}-5iz+i=3}$
3. ${\displaystyle z^{4}=-1}$

Überprüfe, ob folgende Funktionen ${\displaystyle \mathbf {C} \to \mathbf {C} }$ differenzierbar sind. Falls ja, gib ihre Ableitung an.

1. ${\displaystyle f\colon \mathbf {C} \to \mathbf {C} ,z\mapsto z^{2}+2}$
2. ${\displaystyle g\colon \mathbf {C} \to \mathbf {C} ,z\mapsto \left|z\right|^{2}}$