Kurs:Funktionentheorie/Übungen/3. Zettel

Abgabe bis 24. November 2017, 10:15

Es bezeichne ${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to \mathbf {C} }$, ${\displaystyle t\mapsto \exp(2\pi it)}$ die Standardparametrisierung des Einheitskreises. Bestimme für ${\displaystyle n\in \mathbf {Z} }$ das Integral

${\displaystyle \int _{\gamma }z^{n}\,dz}$

Es sei ${\displaystyle \gamma \colon [0,4]\to \mathbf {C} }$ die durch

${\displaystyle t\mapsto {\begin{cases}-(1+i)+2t&t\in [0,1]\\1-i+2i(t-1)&t\in [1,2]\\1+i-2(t-2)&t\in [2,3]\\-1+i-2i(t-3)&t\in [3,4]\end{cases}}}$

gegebene Parametrisierung des Einheitsquadrats. Berechne

${\displaystyle \int _{\gamma }z^{-1}\,dz}$

Es sei ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbf {C} }$ integrierbar. Man zeige, dass

${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}\mathop {\rm {Re}} f(t)\,dt\right|\leq \left|\int _{a}^{b}f(t)\,dt\right|.}$

Es sei ${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbf {C} }$ ein Integrationsweg und ${\displaystyle f\colon \mathbf {C} \to \mathbf {C} }$ stetig. Definiere ${\displaystyle \gamma ^{-}\colon [a,b]\to \mathbf {C} }$ durch ${\displaystyle \gamma ^{-}(t):=\gamma (a+b-t)}$. Man zeige

${\displaystyle \int _{\gamma ^{-}}f(z)\,dz=-\int _{\gamma }f(z)\,dz}$