Kurs:Funktionentheorie/10/Klausur

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Gebiet ${\displaystyle {}U\subseteq {\mathbb {C} }}$.
2. Die Sinusreihe.
3. Ein diskreter Bewertungsring.
4. Eine isolierte Singularität.
5. Der Hauptteil einer meromorphen Funktion auf einer offenen Teilmenge ${\displaystyle {}U\subseteq {\mathbb {C} }}$ in einem Punkt ${\displaystyle {}P\in U}$.
6. Die Windungszahl um ${\displaystyle {}a}$ zu einem stetigen, stückweise stetig differenzierbaren Weg

   ${\displaystyle \gamma \colon I\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{a\}.}$

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über Holomorphie und antiholomorphe Ableitung.
2. Die Integralformel von Cauchy für die Kreisscheibe.
3. Der Identitätssatz für holomorphe Abbildungen.

Zeige, dass die gebrochen-linearen Funktionen ${\displaystyle {}z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}$, die den Rand der Einheitskreisscheibe auf sich abbilden, auf die Form

${\displaystyle \alpha \cdot {\frac {z+\beta }{{\overline {\beta }}z+1}}}$

mit ${\displaystyle {}\vert {\alpha }\vert =1}$ und ${\displaystyle {}\vert {\beta }\vert \neq 1}$ gebracht werden können.

Es sei ${\displaystyle {}G\subseteq {\mathbb {C} }}$ offen und seien ${\displaystyle {}f,g\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }}$ reell total differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass die antiholomorphe Ableitung ${\displaystyle {}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}}$ die Produktregel

${\displaystyle {}{\frac {\partial (fg)}{\partial {\overline {z}}}}=f{\frac {\partial g}{\partial {\overline {z}}}}+g{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}\,}$

erfüllt.

Zu Reihen ${\displaystyle {}\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}}$ und ${\displaystyle {}\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}}$ komplexer Zahlen nennen wir die Reihe

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }d_{k}{\text{ mit }}d_{k}=\sum _{j=0}^{k}a_{k}b_{j}+\sum _{i=0}^{k-1}a_{i}b_{k}}$

das „Quadratrandprodukt“ der beiden Reihen.

a) Zeige, dass jedes Produkt ${\displaystyle {}a_{i}b_{j}}$ genau zu einem ${\displaystyle {}d_{k}}$ beiträgt.

b) Die beiden Reihen seien konvergent. Zeige, dass auch die Reihe ${\displaystyle {}\sum _{k=0}^{\infty }d_{k}}$ konvergent ist, und dass deren Summe gleich dem Produkt der beiden Reihen ist.

Es sei ${\displaystyle {}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}}$ eine auf ${\displaystyle {}U{\left(0,R\right)}}$ konvergente Potenzreihe und sei ${\displaystyle {}b\in U{\left(0,R\right)}}$ ein Punkt derart, dass die umentwickelte Potenzreihe mit Entwicklungspunkt ${\displaystyle {}b}$ die Nullreihe sei. Zeige, dass dann auch die Ausgangsreihe die Nullreihe ist.

1. Bestimme die Taylorreihe zur Funktion

   ${\displaystyle {}f(x)=x^{2}\,}$

   im Entwicklungspunkt ${\displaystyle {}1}$.

2. Es sei

   ${\displaystyle {}g(y)={\sqrt {y}}\,}$

   und es sei

   ${\displaystyle {}b_{0}+b_{1}(y-1)+b_{2}(y-1)^{2}+\ldots =\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}(y-1)^{k}\,}$

   die Taylorreihe zu ${\displaystyle {}g}$ im Entwicklungspunkt ${\displaystyle {}1}$. Bestimme die Koeffizienten ${\displaystyle {}b_{0},b_{1},b_{2},b_{3},b_{4}}$ aus der Gleichung

   ${\displaystyle {}g(f(x))=x\,.}$

Wir betrachten die differenzierbaren Abbildungen

${\displaystyle \gamma \colon [1,c]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t,t^{3}),}$

(mit ${\displaystyle c\geq 1}$) und

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(u,v)\longmapsto (u^{3},u^{2}+v^{2},u^{-1}v^{-1}),}$

und die Differentialform

${\displaystyle {}\omega =(x-y)dx-z^{2}dy+dz\,}$

auf dem ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}}$.

a) Berechne die zurückgezogene Differentialform ${\displaystyle {}\varphi ^{*}\omega }$ auf dem ${\displaystyle {}\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}}$.

b) Berechne das Wegintegral zur Differentialform ${\displaystyle {}\varphi ^{*}\omega }$ zum Weg ${\displaystyle {}\gamma }$ in Abhängigkeit von ${\displaystyle {}c}$.

Beweise den Potenzreihenentwicklungssatz von Cauchy.

Man gebe ein Beispiel für eine diskrete Teilmenge ${\displaystyle {}T\subseteq {\mathbb {C} }}$, die nicht abgeschlossen ist.

Bestimme den Ort, wo die Laurent-Reihe ${\displaystyle {}\sum _{n=0}^{\infty }z^{-n}}$ konvergiert und welche Funktion sie darstellt.

Zeige, dass die Fundamentalgruppe eines kontrahierbaren Raumes trivial ist.

Es sei ${\displaystyle {}U\subseteq {\mathbb {C} }}$ eine offene Menge mit ${\displaystyle {}0\notin U}$ und sei ${\displaystyle {}L\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }}$ eine holomorphe Funktion. Es sei

${\displaystyle {}\exp \left(L(z)\right)=az\,}$

(mit einer Konstanten ${\displaystyle {}a\neq 0}$) auf jeder offenen zusammenhängenden Teilmenge von ${\displaystyle {}U}$. Zeige, dass dann

${\displaystyle {}L'(z)={\frac {1}{z}}\,}$

gilt.