Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen

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• (1) ${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z}}}$ lokal in Potenzreihen entwickeln,
• (2) Konvergenzradius bestimmen über die Darstellung über eine geometrischen Reihe.

Diese Lernressource behandelt Beispiele für Potenzreihenentwicklungen hat das Ziel, Werkzeuge aus der Analysis und Reihenentwicklung auf Potenzreihen zu übertragen. In der Funktionentheorie^[1] spielt die Funktion ${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z}}=z^{-1}}$ bzw. der Koeffizient ${\displaystyle (z-z_{o})^{-1}}$ in der Laurent-Reihe eine besondere Rolle (siehe Residuum). Auf ${\displaystyle \mathbb {C} /\{0\}}$ ist ${\displaystyle f}$ holomorph und damit lokal in Potenzreihen entwickelbar. In dieser Lerneinheit wird diese lokale Entwicklung in Potenzreihen über geometrische Reihen^[2] behandelt. Ferner wird über die Darstellung deutlich, dass der Konvergenzradius der Potenzreihe der Abstand zwischen dem Entwicklungspunkt ${\displaystyle z_{o}\not =0}$ und der Singularität 0 ist.

Die Reihe

${\displaystyle f(z):=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(z-0)^{n}}$ ist ein Potenzreihe mit Entwicklungspunkt 0 und zusätzlich eine geometrische Reihe mit dem Grenzwert ${\displaystyle {\frac {1}{1-z}}}$. Daher stellt die Potenzreihe ${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}={\frac {1}{1-z}}}$ eine Potenzreihenentwicklung von ${\displaystyle f(z)={\frac {1}{1-z}}}$ mit Entwicklungspunkt 0 dar, falls ${\displaystyle |z|<1}$.

Bestimmen Sie für das obige Beispiele der Potenzreihenentwicklungen von ${\displaystyle f(z)={\frac {1}{1-z}}}$ mit Entwicklungspunkt ${\displaystyle z_{o}=i}$ die ersten 3 Koeffizienten der Taylorreihenentwicklung über ${\displaystyle a_{n}:={\frac {f^{(n)}(i)}{n!}}}$.

In dem folgenden Beispiel wird ${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z}}}$ in eine Potenzreihenentwicklung mit Entwicklungspunkt ${\displaystyle z_{o}=i}$ transformiert. Auch wird die geometrische Reihe verwendet, um nicht alle Koeffizenten der Taylorentwicklung jeweils einzeln über ${\displaystyle f^{(n)}(i)}$ berechnen zu müssen.

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\frac {1}{z}}&=&-{\frac {1}{-z}}=-{\frac {1}{(i-i)-z}}=-{\frac {1}{-i-z+i}}\\&=&-{\frac {1}{-i-(z-i)}}=-{\frac {1}{-i\cdot \left(1-{\frac {z-i}{-i}}\right)}}\\&=&-\underbrace {\frac {1}{-i}} _{=i}\cdot {\frac {1}{\left(1-{\frac {z-i}{-i}}\right)}}=-i\cdot \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {z-i}{-i}}\right)^{n}\\&=&\displaystyle -i\cdot \sum _{n=0}^{\infty }{\underbrace {\left({\frac {1}{-i}}\right)} _{=i}}^{n}\cdot (z-i)^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }\underbrace {-i^{n+1}} _{=a_{n}}\cdot (z-i)^{n}\end{array}}}$

Die Reihe konvergiert für alle ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle |z-i|<1}$ mit ${\displaystyle |a_{n}|=1}$. Dieses Vorgehen für ${\displaystyle i}$ wird im Folgenden für einen beliebigen Entwicklungspunkt ${\displaystyle z_{o}\not =0}$ verallgemeinert.

Verallgemeinern Sie das obige Beispiel für eine lokale Taylorreihenentwicklung von ${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z}}}$ um einen beliebigen Punkt ${\displaystyle z_{o}\in \mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle z_{o}\not =0}$. Geben Sie dazu auch den jeweilgen Konvergenzradius der Kreischeibe an, auf der die Potenzreihe konvergiert.

Nun wird ein beliebiger Entwicklungspunkt ${\displaystyle z_{o}\not =0}$ aus der komplexen Zahlenebene für die Darstellung von

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z}}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\cdot (z-z_{o})^{n}}$

in eine Potenzreihenentwicklung gewählt. Die Koeffizienten ${\displaystyle a_{n}\in \mathbb {C} }$ werden über geometrische Reihe berechnet.

Der Grenzwert einer geometrischen Reihe lautet:

${\displaystyle {\frac {1}{1-q}}=\sum _{n=0}^{\infty }q^{n}}$

mit ${\displaystyle q\in \mathbb {C} }$ und ${\displaystyle |q|<1}$. Diese Reihendarstellung wird im Folgenden verwendet, um die Potenzreihe durch eine Umformung des Funktionsterms ${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z}}}$ in die Form ${\displaystyle {\frac {1}{1-q}}}$ zu erhalten.

Nun wird der Term ${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z}}}$ in einen Ausdruck der Form

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z}}=a\cdot {\frac {1}{1-q}}}$

umgeformt, wobei ${\displaystyle q:={\frac {z-z_{o}}{b}}}$ als Quotient die Eigenschaft ${\displaystyle |q|<1}$ bzw. ${\displaystyle |z-z_{o}|<|b|}$ für die Konvergenz der geometrischen Reihe als Eigenschaft erfüllen muss.

Das Vorzeichen von ${\displaystyle z}$ muss wegen der ${\displaystyle {\frac {1}{1-q}}=\sum _{n=0}^{\infty }q^{n}}$ negativ sein, da ${\displaystyle q={\frac {z-z_{o}}{b}}}$ mit ${\displaystyle b\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ gilt. Daher formt man ${\displaystyle f(z)}$ wie folgt um:

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z}}=-{\frac {1}{-z}}}$

Für die Potenzreihe benötigt man den Term ${\displaystyle z-z_{o}}$ für einen beliebigen Entwicklungspunkt ${\displaystyle z_{o}\not =0}$. Daher ergänzt man im Nenner die ${\displaystyle 0=z_{o}-z_{o}}$.

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z}}=-{\frac {1}{-z}}=-{\frac {1}{(z_{o}-z_{o})-z}}=-{\frac {1}{-z_{o}-(z-z_{o})}}}$

Für die Transformation des Nenners in der Grenzwert einer geometrischen Reihe ${\displaystyle {\frac {1}{1-q}}=\sum _{n=0}^{\infty }q^{n}}$ ist es notwendig, den Faktor ${\displaystyle -z_{o}}$ im Nenner auszuklammern. Damit erhält man:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}f(z)&=&-{\frac {1}{-z_{o}-(z-z_{o})}}=-{\frac {1}{(-z_{o})\cdot \left(1-\left({\frac {z-z_{o}}{-z_{o}}}\right)\right)}}\\&=&{\frac {1}{z_{o}}}\cdot {\frac {1}{1-\underbrace {\frac {z-z_{o}}{-z_{o}}} _{=q}}}\\\end{array}}}$

Nun kann man den rechten Faktor ${\displaystyle {\frac {1}{1-q}}}$ als eine geometrische Reihe darstellen:

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z}}={\frac {1}{z_{o}}}\cdot {\frac {1}{1-\underbrace {\frac {z-z_{o}}{-z_{o}}} _{=q}}}={\frac {1}{z_{o}}}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }q^{n}}$

Die geometrische Reihe

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z}}={\frac {1}{z_{o}}}\cdot {\frac {1}{1-\underbrace {\frac {z-z_{o}}{-z_{o}}} _{=q}}}=\sum _{n=0}^{\infty }\underbrace {\frac {(-1)^{n}}{z_{o}^{n+1}}} _{=a_{n}}\cdot (z-z_{o})^{n}}$

wobei ${\displaystyle |q|:=\left|{\frac {z-z_{o}}{-z_{o}}}\right|<1}$ bzw. ${\displaystyle \left|z-z_{o}\right|<|-z_{o}|=|z_{o}|}$ gilt. Dabei ist der Konvergenzradius der Abstand von ${\displaystyle z_{o}\not =0}$ zur Singularität 0 von ${\displaystyle f(z)}$.

Alternativ zu dem oben angegebenen Vorgehen kann man die Koeffizienten ${\displaystyle a_{n}}$ auch über die Taylorreihenkoeffizienten mit ${\displaystyle a_{n}={\frac {f^{(n)}(z_{o})}{n!}}}$ berechnen.

1. ↑ Jänich, K. (2004). Funktionentheorie. Springer Berlin Heidelberg.
2. ↑ Heuser, H. (2013). Lehrbuch der Analysis: Teil 1. Springer-Verlag.

• Residuum
• Taylorreihe
• Open Educational Resources
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