Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung

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• (1) Verwendung des Cauchy-Kerns für Hauptteil und Nebenteil der Laurent-Reihe
• (2) Berechnung der Koeffizient der Laurent-Reihe als Integraldarstellung

Es sei ${\displaystyle G\subseteq \mathbb {C} }$ ein Gebiet, ${\displaystyle z_{0}\in G}$ und ${\displaystyle f\colon G\setminus \{z_{0}\}\to \mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion. Eine Laurententwicklung von ${\displaystyle f}$ um ${\displaystyle z_{0}}$ ist eine Darstellung von ${\displaystyle f}$ als Laurent-Reihe

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}}$

mit ${\displaystyle a_{n}\in \mathbb {C} }$, die auf einer gelochten (d.h. ohne den Mittelpunkt ${\displaystyle z_{0}}$) Kreisscheibe um ${\displaystyle z_{0}}$ konvergiert.

Etwas allgemeiner als obige Entwicklung ist die folgende: Seien ${\displaystyle 0\leq r_{1}<r_{2}}$ zwei Radien (die Entwicklung um einen Punkt entspricht ${\displaystyle r_{1}=0}$), und sei ${\displaystyle A_{r_{1},r_{2}}:=\{z\in \mathbb {C} :r_{1}<|z-z_{0}|<r_{2}\}}$ ein Kreisring um ${\displaystyle z_{0}}$, sei weiterhin ${\displaystyle f\colon A\to \mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion, dann ist die Laurent-Reihe

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}}$

mit ${\displaystyle a_{n}\in \mathbb {C} }$ eine Laurententwicklung von ${\displaystyle f}$ auf ${\displaystyle A_{r_{1},r_{2}}}$, wenn die Reihe für alle ${\displaystyle z\in A_{r_{1},r_{2}}}$ konvergiert.

Jede auf ${\displaystyle A_{r_{1},r_{2}}}$ holomorphe Funktion besitzt eine Laurententwicklung um ${\displaystyle z_{0}}$, die Koeffizienten ${\displaystyle a_{n}}$ aus obiger Darstellung sind durch

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z-z_{0}|=r}{\frac {f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}}dz}$

für einen Radius ${\displaystyle r}$ mit ${\displaystyle r_{1}<r<r_{2}}$ gegeben.

Die Koeffizienten sind eindeutig durch

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z-z_{0}|=r}{\frac {f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}}dz}$

bestimmt.

Der Beweis gliedert sich in zwei Teile:

• Eindeutigkeit der Darstellung und
• Existenz der Darstellung.

Die Eindeutigkeit folgt aus dem Identitätssatz für Laurent-Reihen, wobei der Identitätssatz für Potenzreihe sowohl für den Nebenteil als auch für den transformierten Hauptteil der Laurent-Reihe angewendet wird.

Zur Existenz wähle für ${\displaystyle r_{0}<R_{0}}$ der offenen Kreisscheibe ein ${\displaystyle r,R}$, so dass ${\displaystyle r_{0}<r<R<R_{0}}$. Sei nun ${\displaystyle z\in K_{r,R}}$ aus dem Inneren des Kreisringes beliebig gewählt.

Für den Kreisring ${\displaystyle K_{r,R}}$ seien nun zwei nullhomotope Kurven ${\displaystyle \gamma _{r}:[0,2\pi ]\to \mathbb {C} }$ und ${\displaystyle \gamma _{R}:[0,2\pi ]\to \mathbb {C} }$ in ${\displaystyle K_{r_{0},R_{0}}}$ gewählt.

${\displaystyle \gamma _{r}(t):=z_{o}+r\cdot e^{it}\qquad \gamma _{R}(t):=z_{o}+R\cdot e^{-it}}$

Über ${\displaystyle \Gamma :=\gamma _{R}+\gamma _{r}}$ wird ein nullhomologer Zyklus für den Kreisring ${\displaystyle K_{r,R}}$ definiert.

Nach dem Integralsatz von Cauchy für nullhomologe Zyklen gilt nun

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw}$

und

${\displaystyle 0={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma _{r}}{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw}$

da ${\displaystyle \gamma _{r}}$ wegen ${\displaystyle |z-z_{0}|>r}$ den Punkt ${\displaystyle z}$ nicht umläuft.

Also ist wegen ${\displaystyle \gamma _{R}+\gamma _{r}=\partial D_{R}(z_{0})-\partial D_{r}(z_{0})}$

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|w-z_{0}|=R}{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{|w-z_{0}|=r}{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw}$

Bei der Integration über den ${\displaystyle \gamma _{R}}$ gilt ${\displaystyle |w-z_{0}|=R}$ für alle ${\displaystyle z\in Spur(\gamma _{R})}$ und über die Verwendung des Cauchy-Kerns und des Grenzwertes einer geometrischen Reihe erhält man:

${\displaystyle {\begin{array}{rl}\displaystyle {\frac {1}{w-z}}&=\displaystyle {\frac {1}{(w-z_{0})-(z-z_{0})}}\\&=\displaystyle {\frac {1}{w-z_{0}}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {z-z_{0}}{w-z_{0}}}}}\\&=\displaystyle {\frac {1}{w-z_{0}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(z-z_{0})^{n}}{(w-z_{0})^{n}}}\end{array}}}$

Die (geometrische) Reihe konvergiert wegen ${\displaystyle |z-z_{0}|<|w-z_{0}|}$ absolut und man erhält die Darstellung

${\displaystyle {\begin{array}{rl}\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{|w-z_{0}|=R}{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw&=\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{|w-z_{0}|=R}{\frac {1}{w-z_{0}}}{\frac {f(w)(z-z_{0})^{n}}{(w-z_{0})^{n}}}\,dw\\&=\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\sum _{n=0}^{\infty }\int _{|w-z_{0}|=R}{\frac {f(w)}{(w-z_{0})^{n+1}}}\,dw\cdot (z-z_{0})^{n}\\&=\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\sum _{n=0}^{\infty }\int _{|w-z_{0}|=r}{\frac {f(w)}{(w-z_{0})^{n+1}}}\,dw\cdot (z-z_{0})^{n}\end{array}}}$

Die letzte Gleichung gilt, da der Integrand auf dem Kreisring ${\displaystyle K_{r_{0},R_{0}}}$ holomorph ist und die beiden Wege ${\displaystyle \gamma _{R}}$ und ${\displaystyle -\gamma _{r}}$ in ${\displaystyle K_{r_{0},R_{0}}}$ homotop sind (sich also die Umlaufzahlen für komplexe Zahlen im Komplement von ${\displaystyle K_{r_{0},R_{0}}}$ nicht unterscheiden).

Nun betrachten wir das Integral über den inneren Kreis mit ${\displaystyle |w-z_{0}|=r}$ (also über ${\displaystyle -\gamma _{r}}$). Es wird zunächst analog mit zum Vorgehen für ${\displaystyle |w-z_{0}|=R}$ entwickelt. Allerdings muss in diesem Fall für die geometrische Reihe darauf geachtet werden, dass ${\displaystyle |q|=\left|{\frac {w-z_{0}}{z-z_{0}}}\right|<1}$ für die Konvergenz gilt. Zählen und Nenner werden wegen ${\displaystyle |w-z_{0}|<|z-z_{0}|}$ im Vergleich zum Beweisteil 2.5 getauscht.

Für den Hauptteil der Laurent-Reihe ergibt sich dann der Cauchy-Kern wie folgt:

${\displaystyle {\begin{array}{rl}\displaystyle {\frac {1}{w-z}}&=\displaystyle {\frac {1}{(w-z_{0})-(z-z_{0})}}\\&=\displaystyle {\frac {-1}{z-z_{0}}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {w-z_{0}}{z-z_{0}}}}}\\&=\displaystyle {\frac {-1}{z-z_{0}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(w-z_{0})^{n}}{(z-z_{0})^{n}}}\end{array}}}$

Damit erhält man ${\displaystyle r=|w-z_{0}|<|z-z_{0}|}$ die Konvergenz der Reihe und damit

${\displaystyle {\begin{array}{rl}-\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{|w-z_{0}|=r}{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw&=-\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{|w-z_{0}|=r}{\frac {-1}{z-z_{0}}}{\frac {f(w)(w-z_{0})^{n}}{(z-z_{0})^{n}}}\,dw\\&=\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\sum _{n=0}^{\infty }\int _{|w-z_{0}|=r}{\frac {f(w)}{(w-z_{0})^{-n}}}\,dw\cdot (z-z_{0})^{-n-1}\\&=\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\sum _{n=0}^{\infty }\int _{|w-z_{0}|=r}{\frac {f(w)}{(w-z_{0})^{-n}}}\,dw\cdot (z-z_{0})^{-n-1}\\&=\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\sum _{n=-\infty }^{1}\int _{|w-z_{0}|=r}{\frac {f(w)}{(w-z_{0})^{n+1}}}\,dw\cdot (z-z_{0})^{n}\end{array}}}$

Zusammen folgt, dass für ${\displaystyle z\in K_{r,R}}$ aus dem Kreisring:

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\int _{|w-z_{0}|=r}{\frac {f(w)}{(w-z_{0})^{n+1}}}\,dw\cdot (z-z_{0})^{n}}$

und damit die Existenz der behaupteten Laurententwicklung. ${\displaystyle \Box }$

• Beispiele für die Entwicklung in Laurentreihen
• Wikipedia: Laurentreihe

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