Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz

Das Lemma von Schwarz ist eine Aussage über das Wachstumsverhalten holomorpher Funktionen auf der Einheitskreisscheibe.

Es sei ${\displaystyle \mathbb {D} :=\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}}$ die Einheitskreisscheibe und ${\displaystyle f\colon \mathbb {D} \to \mathbb {D} }$ holomorph mit ${\displaystyle f(0)=0}$. Dann gilt:

• ${\displaystyle |f(z)|\leq |z|}$ für alle ${\displaystyle z\in \mathbb {D} }$
• ${\displaystyle |f'(0)|\leq 1}$
• Gilt ${\displaystyle |f'(0)|=1}$ oder ${\displaystyle |f(z_{0})|=|z_{0}|}$ für ein ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {D} \setminus \{0\}}$, so ist ${\displaystyle f}$ eine Drehung, d. h. es existiert ein ${\displaystyle \lambda }$ mit ${\displaystyle |\lambda |=1}$, so dass ${\displaystyle f(z)={\lambda }\cdot z}$, ${\displaystyle z\in \mathbb {D} }$.

Definiere ${\displaystyle g\colon \mathbb {D} \to \mathbb {C} }$ durch

${\displaystyle g(z)=\left\{{\begin{array}{rr}\displaystyle {\frac {f(z)}{z}},&z\neq 0\\f'(0),&z=0\end{array}}\right.}$

Dann ist ${\displaystyle g}$ stetig, also nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz auch holomorph. Sei ${\displaystyle r<1}$, dann ist nach dem Maximumprinzip also für ${\displaystyle |z|\leq r}$:

${\displaystyle |g(z)|\leq \max _{|z|=r}|g(z)|={\frac {\max _{|z|=r}|f(z)|}{r}}\leq {\frac {1}{r}}.}$

Für ${\displaystyle r\to 1}$ ergibt sich die Ungleichung ${\displaystyle |g(z)|\leq 1}$, also ${\displaystyle |f(z)|\leq |z|}$ für alle ${\displaystyle z\in \mathbb {D} }$ gilt, das zeigt die ersten beiden Aussagen.

Gilt in einem der Beiden Fälle Gleichheit, so hat also ${\displaystyle |g|}$ im inneren von ${\displaystyle \mathbb {D} }$ ein lokales Maximum, nach dem Maximumprinzip ist also ${\displaystyle g}$ konstant, und diese Konstante ${\displaystyle \lambda }$ hat den Betrag ${\displaystyle 1}$, es folgt die Behauptung.

Vgl. Fischer S. 286.

• Automorphismen von ${\displaystyle \mathbb {D} }$ können damit charakterisiert werden.