Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus

In dieser Lerneinheit wird der Zusammenhang zwischen der Funktion ${\displaystyle \exp(z)}$ und ${\displaystyle {\frac {1}{z}}}$ sowie die Definition eines Zweiges des Logarithmus und die Notwendigkeit der Einschränkung der Definitions- und Wertebereiche der Exponentialfunktion betrachtet, um eine bijektive Abbildung der Exponentialfunktion zu erhalten.

${\displaystyle \exp(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}}$

Die Exponentialfunktion ${\displaystyle \exp(z)}$ ist eine ganze Funktion, dessen Definitionsbereich ${\displaystyle \mathbb {D} \subset \mathbb {C} }$ und Wertebereich ${\displaystyle \mathbb {D} \subset \mathbb {C} }$ einschränken muss, um eine bijektive Abbildung und ${\displaystyle \exp :\mathbb {D} \to \mathbb {W} }$ zu erhalten, für die man eine Umkehrfunktion definieren kann.

${\displaystyle \exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ist injektiv aber nicht surjektiv. Durch die Einschränkung des Wertebereiches von ${\displaystyle \mathbb {R} }$ auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ist die Funktion ${\displaystyle \exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}}$ bijektiv und man kann nach einer Umkehrfunktion (den natürliche Logarithmus) suchen.

Erläutern Sie, warum ${\displaystyle \exp :\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ weder injektiv noch surjektiv ist. Schränken Sie den Definitionsbereich und Wertebereich der komplexen Exponentialfunktion so ein, dass ${\displaystyle \exp :\mathbb {D} \to \mathbb {W} }$ bijektiv ist und eine Umkehrfunktion besitzt!

In den reellen Zahlen der Logarithmus z.B. auf den positiven reellen Zahlen die Stammfunktion von ${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$. Welche Beziehung besteht zwischen eine Zweig des Logarithmus und einem Wegintegral über die Funktion ${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$.

Die holomorphe Funktion ${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z}}}$ ist eine einfache rationale Funktion, die auf ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ definiert ist. Sie besitzt aber auf ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ keine Stammfunktion, denn sonst würde das Integral über den Kreis um 0 nicht den Wert ${\displaystyle 2\pi i}$ sondern 0 liefern. ${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z}}}$ hat eine Polstelle bei ${\displaystyle z=0}$.

Der komplexe Logarithmus ${\displaystyle ln(z)}$ ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Das bedeutet, dass ${\displaystyle \exp(ln(z))=z}$ für alle ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$. Allerdings ist der Logarithmus durch die Periodizität ${\displaystyle 2\pi }$ im Imaginärteil nicht injektiv, d.h. dass ${\displaystyle \exp(z+2\pi ik)=\exp(z)}$ für alle ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ gilt.

• (injektiv) Um eine injektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den Definitionsbereich einschränken, damit die Element aus dem Definitionsbereich entfernt, die auf die gleichen Bildpunkt abgebildet werden.
• (surjektiv) Um eine surjektive Abbildung für Definition des Logarithmus zu erhalten, muss man den Wertebereich einschränken und "nicht getroffene" Elemente aus dem Wertebereich zu entfernen

Ein Zweig des Logarithmus ist eine Funktion ${\displaystyle \log(z)}$, die auf einer Teilmenge ${\displaystyle D}$ von ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ definiert ist und die Eigenschaft hat, dass ${\displaystyle \exp(\log(z))=z}$ für alle ${\displaystyle z\in D}$. Eine übliche Wahl für ${\displaystyle D}$ ist die Menge ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus (-\infty ,0]}$, die die negative reelle Achse ausschließt. In diesem Fall kann der Hauptzweig des Logarithmus definiert werden als:

${\displaystyle \log(z)=\ln |z|+i\arg(z)}$

wobei ${\displaystyle \arg(z)}$ der Winkel von ${\displaystyle z}$ in der komplexen Ebene ist und ${\displaystyle -\pi <\arg(z)\leq \pi }$.

Sei ${\displaystyle z_{o}\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ beliebig gewählt und

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}\gamma _{z}:&[0,1]&\rightarrow &\mathbb {C} \\&t&\mapsto &\gamma _{z}(t)=(1-t)\cdot z_{0}+t\cdot z\end{array}}}$

• Skizzieren Sie die Menge ${\displaystyle \mathbb {C} _{z_{0}}:=\mathbb {C} \setminus \{-\lambda \cdot z_{0}\,:\,\lambda \in \mathbb {R} _{0}^{+}\}}$
• Ist die folgende Funktion ${\displaystyle F:\mathbb {C} _{z_{0}}\to \mathbb {C} }$ eine wohldefinierte Funktion und ein Zweig des Logarithmus?

${\displaystyle F(z):=\int _{\gamma _{z}}{\frac {1}{\xi }}\,d\xi =\int _{0}^{1}{\frac {1}{\gamma _{z}(t)}}\cdot \gamma {\,}_{z}'(t)dt}$

Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich der Exponentialfunktion einschränken. Die Exponentialfunktion ${\displaystyle \exp(z)}$ ist periodisch mit der Periode ${\displaystyle 2\pi i}$, das heißt, ${\displaystyle \exp(z+2\pi ik)=\exp(z)}$ für alle ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$. Dies bedeutet, dass die Exponentialfunktion nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene ist. Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, können wir den Definitionsbereich der Exponentialfunktion auf ein horizontales Streifenmuster einschränken, zum Beispiel:

${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \mid -\pi <\operatorname {Im} (z)\leq \pi \}}$

In diesem Fall ist die Exponentialfunktion bijektiv auf diesem Streifen und der Wertebereich ist ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$. Zusammengefasst: - Die Exponentialfunktion ${\displaystyle \exp(z)}$ ist nicht injektiv auf der gesamten komplexen Ebene. - Um eine bijektive Abbildung zu erhalten, müssen wir den Definitionsbereich der Exponentialfunktion einschränken, zum Beispiel auf ein horizontales Streifenmuster. - Ein Zweig des Logarithmus kann definiert werden, indem der Definitionsbereich des Logarithmus eingeschränkt wird, zum Beispiel auf ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus (-\infty ,0]}$.

Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl ${\displaystyle w}$, welche die Gleichung

${\displaystyle \mathrm {e} ^{w}=z}$

erfüllt, ein natürlicher Logarithmus von ${\displaystyle z}$. Für jedes ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ existiert ein solches ${\displaystyle w}$, das jedoch im Unterschied zum reellen Logarithmus wegen

${\displaystyle \mathrm {e} ^{2k\pi \mathrm {i} }=1,\quad k\in \mathbb {Z} }$,

nicht eindeutig bestimmt ist. Hat man also einen Logarithmus ${\displaystyle w}$ von ${\displaystyle z}$ gefunden, so ist damit auch

${\displaystyle w'=\,\!w+2k\pi \mathrm {i} }$

mit jeder ganzen Zahl ${\displaystyle k}$ ein Logarithmus von ${\displaystyle z}$, denn es gilt

${\displaystyle \mathrm {e} ^{w'}=\mathrm {e} ^{w+2k\pi \mathrm {i} }=\mathrm {e} ^{w}\cdot \mathrm {e} ^{2k\pi \mathrm {i} }=\mathrm {e} ^{w}\cdot 1=\mathrm {e} ^{w}=z}$.

Um Eindeutigkeit zu erreichen, wählt man aus den möglichen Werten für ${\displaystyle w}$ solche Werte aus, die in einem geeigneten Streifen der komplexen Zahlenebene liegen. Man kann z. B. den Streifen

${\displaystyle \left\{w\in {C}:-\pi <\operatorname {Im} \,w\leq \pi \right\}}$

verwenden. Ein Wert ${\displaystyle w}$ aus diesem Streifen heißt Hauptwert (engl. principal value) des Logarithmus, und man schreibt ${\displaystyle w=\ln z}$. Stellt man ${\displaystyle z=|z|\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \arg z}}$ in Polarform dar, so erhält man eine einfache Darstellung des k-ten Zweiges der Logarithmusfunktion:

${\displaystyle w=\ln |z|+\mathrm {i} \left(\arg z+2k\pi \right),\quad k\in \mathbb {Z} }$

mit der Argument-Funktion ${\displaystyle \arg }$. Im Summanden ${\displaystyle \ln |z|}$ wird der bereits oben definierte reelle Logarithmus ${\displaystyle \ln }$ verwendet. Für ${\displaystyle k=0}$ erhält man den Hauptzweig des komplexen Logarithmus zurück:

${\displaystyle \ln z=\ln |z|+\mathrm {i} \arg z}$ .

${\displaystyle \ln }$ ist nicht stetig auf ${\displaystyle {C}\setminus \{0\}}$. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse, so ist ${\displaystyle \ln }$ auf dem Gebiet

${\displaystyle {C}\setminus \{x\in \mathbb {R} :x\leq 0\}}$

stetig und sogar holomorph.

Zur Beachtung

Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus ${\displaystyle \ln }$ gelten nicht alle der weiter oben angeführten Rechenregeln für die reelle Logarithmusfunktion. Sie gelten nur ${\displaystyle {\text{mod }}2\pi \mathrm {i} }$. Diese Mehrdeutigkeit ist eine direkte Folge aus der Periodizität seiner Umkehrfunktion, der komplexen Exponentialfunktion. Der Vergleich von

${\displaystyle \ln(-1+\mathrm {i} )+\ln(-1+\mathrm {i} )={\bigl (}\ln {\sqrt {2}}+{\frac {3\pi }{4}}\mathrm {i} {\bigr )}+{\bigl (}\ln {\sqrt {2}}+{\frac {3\pi }{4}}\mathrm {i} {\bigr )}=\ln 2+{\frac {3\pi }{2}}\mathrm {i} }$

mit

${\displaystyle \ln {\bigl (}(-1+\mathrm {i} )(-1+\mathrm {i} ){\bigr )}=\ln(-2\mathrm {i} )=\ln 2-{\frac {\pi }{2}}\mathrm {i} }$

zeigt, dass

${\displaystyle \ln x+\ln y=\ln(x\cdot y)}$

nicht für alle von ${\displaystyle 0}$ verschiedenen komplexen Zahlen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ richtig ist. Auch die Gleichung

${\displaystyle y\cdot \ln x=\ln {x^{y}}}$

ist nicht immer erfüllt, wie das Gegenbeispiel

${\displaystyle 2\pi \mathrm {i} \ln \mathrm {e} =2\pi \mathrm {i} \;\neq \;0=\ln 1=\ln(\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} })}$

beweist.

• Grafische Darstellung des komplexen Logarithmus
• 
  Betrag von ${\displaystyle \ln z}$
• 
  Realteil von ${\displaystyle \ln z}$
• 
  Imaginärteil von ${\displaystyle \ln z}$

Mit dem oben definierten Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus für negative reellen Zahlen erklären:

${\displaystyle \ln(-x)=\ln \left\vert -x\right\vert +\mathrm {i} \arg(-x)=\ln x+\mathrm {i} \pi ,\quad x\in \mathbb {R} ^{+}\ .}$

Das setzt voraus, dass die Argument-Funktion ${\displaystyle \arg }$ negativen reellen Zahlen den Wert ${\displaystyle \pi }$ zuweist.

Diese Betrachtungen zeigen, dass die Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus letztlich auf die Mehrdeutigkeit der Argument-Funktion zurückzuführen ist.

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• Logarithmus https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus
• Datum: 31.7.2025
• Wikipedia2Wikiversity-Konverter: https://niebert.github.io/Wikipedia2Wikiversity