Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale

Der Beweis gliedert sich in die folgenden Beweischritte

• Definition des Integrals
• Anwendung des Mittelwertsatzes für reelle Funktionen
• Integral der Konstanten 1
• Zusammenfassung

Der Mittelwertsatz für holomorphe Funktionen zeigt, dass man den Wert des Wegintegrals über eine holomorphe Funktion durch eine Auswertung der Funktion ${\displaystyle f}$ an einem Punkt ${\displaystyle \gamma (t_{o})}$ auf der Spur von ${\displaystyle \gamma }$ und dem Wegintegral über die konstante Funktion 1 ausdrücken kann.

Sei ${\displaystyle f:G\to \mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion auf einem Gebiet ${\displaystyle G\subseteq \mathbb {C} }$, ${\displaystyle f=f_{1}+i\cdot f_{2}}$ die Zerlegung in Realteil- und Imaginärteilfunktion, und sei ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to G}$ ein stückweise glatter Weg. Dann gibt es ein ${\displaystyle t_{1},t_{2}\in [a,b]}$, so dass

${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz={\big (}f_{1}(\gamma (t_{1}))\cdot \gamma \,{'}(t_{1})+i\cdot f_{2}(\gamma (t_{2}))\cdot \gamma \,{'}(t_{2}){\big )}\cdot [a-b]}$

Der Beweis gliedert sich in folgende Teilschritte:

• Definition des Integrals verwenden,
• Zerlegung in Realteil- und Imaginärteilfunktion,
• Anwendung des Mittelwertsatzes für reellwertige Funktionen

Das Integral einer holomorphen Funktion ${\displaystyle f}$ über einen Weg ${\displaystyle \gamma }$ ist definiert als:

${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\cdot \gamma '(t)\,dt.}$

Da ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle \gamma }$ stetig sind, ist die Funktion ${\displaystyle h:=(f\circ \gamma )\cdot \gamma \,{'}}$ eine stetige Funktion mit ${\displaystyle h:[a,b]\to \mathbb {C} }$. Diese lässt sich mit ${\displaystyle h_{1}:[a,b]\to \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle h_{2}:[a,b]\to \mathbb {R} }$ in die Realteil- und Imaginärteilfunktion von ${\displaystyle h=h_{1}+i\cdot h_{2}}$ zerlegen.

Durch Ersetzung und Anwendung der Linearität des Integrals erhält mit dem Mittelwertsatz für reelle Funktionen auf das Integral für ${\displaystyle h_{1}}$ und ${\displaystyle h_{2}}$. Es existieren ${\displaystyle t_{1},t_{2}\in [a,b]}$, so dass:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\displaystyle \int _{a}^{b}f(\gamma (t))\cdot \gamma '(t)\,dt&=&\displaystyle \int _{a}^{b}h(t)\,dt\\&=&\displaystyle \int _{a}^{b}h_{1}(t)\,dt+i\cdot \int _{a}^{b}h_{2}(t)\,dt\\&=&{\big (}h_{1}(t_{1})+i\cdot h_{2}(t_{2}){\big )}\cdot [a-b]\end{array}}}$

Der Mittelwertsatz für holomorphe Funktionen liefert nun die Möglichkeit, dass das Wegintegral einer holomorphen Funktion ${\displaystyle f}$ über einen Weg ${\displaystyle \gamma }$ durch den Wert der Realteilfunktion ${\displaystyle f_{1}}$ und der Imaginärteilfunktion ${\displaystyle f_{2}}$ an zwei Punkten ${\displaystyle \gamma (t_{1}),\,\gamma (t_{2})}$ auf der Spur von dem Weg ${\displaystyle \gamma }$ auszudrücken.

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