Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz

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• (1) die in einer punktierten Umgebung um ${\displaystyle z_{o}}$ beschränkt ist und
• (2) sich mit dem Riemannschen Hebbarkeitssatz in ${\displaystyle z_{o}}$ holomorph fortsetzen lässt.

Die Lernressource zum Thema Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche Hebbarkeitssatz hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind.

• Laurent-Reihe
• Abschätzung der Koeffizienten der Laurent-Reihe

Der Riemannsche Hebbarkeitssatz ist ein grundlegender Satz in der Funktionentheorie, der Bedingungen angibt, unter denen eine isolierte Singularität von einer holomorphen Funktion in dem Punkt holomoph fortsetzbar ("hebbar") ist.

Sei ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$ eine offene Menge, ${\displaystyle z_{0}\in G}$ und ${\displaystyle f:G\setminus \{z_{0}\}\to \mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion. Ist ${\displaystyle U\subset G}$ eine Umgebung von ${\displaystyle z_{0}}$ ist ${\displaystyle |f|}$ auf einer punktierten Umgebung ${\displaystyle U_{0}:=U\setminus \{z_{0}\}}$ von ${\displaystyle z_{0}}$ beschränkt, dann existiert eine holomorphe Funktion ${\displaystyle f^{\ast }:G\to \mathbb {C} }$ auf ${\displaystyle U}$, die auf ${\displaystyle U\setminus \{z_{0}\}}$ mit ${\displaystyle f}$ übereinstimmt.

Der Beweis gliedert sich in die folgenden Schritte:

• Beschränktheit auf der punktierten Umgebung
• Laurent-Reihe
• Abschätzung der Koeffizienten der Laurent-Reihe
• Verschwinden der negativen Potenzen der Laurent-Reihe
• Holomorphe Fortsetzung als Taylorreihe

Da ${\displaystyle |f|:G\setminus \{z_{0}\}\to \mathbb {R} _{0}^{+}}$ auf der punktierten Umgebung ${\displaystyle U_{0}}$ von ${\displaystyle z_{0}\in G}$ beschränkt ist, gibt es eine Konstante ${\displaystyle M}$ und eine Umgebung ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle z_{0}}$, sodass ${\displaystyle |f(z)|\leq M}$ für alle ${\displaystyle z\in U\setminus \{z_{0}\}}$.

Betrachte die Laurent-Reihe von ${\displaystyle f}$ um ${\displaystyle z_{0}}$:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}}$ für ${\displaystyle z}$ in einer punktierten Umgebung von ${\displaystyle z_{0}}$.

Die Koeffizienten ${\displaystyle a_{n}}$ der Laurent-Reihe sind gegeben durch:

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma _{r}}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -z_{0})^{n+1}}}\,d\zeta }$

wobei ${\displaystyle \gamma :[0,2\pi ]\to \mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle \gamma _{r}(t):=z_{o}+r\cdot e^{it}}$ ein Kreis um ${\displaystyle z_{0}}$ mit Radius ${\displaystyle r>0}$ ist. Da ${\displaystyle U_{0}}$ eine punktierte Umgebung um ${\displaystyle z_{o}\in G}$ ist, kann ${\displaystyle r>0}$ so klein gewählt werden, dass die ${\displaystyle Spur(\gamma _{r})\subset {\overline {D_{r}(z_{0})}}\subset U}$ gilt.

Der Kreisradius ${\displaystyle r>0}$ wird so gewählt, das die abgeschlossene Kreischeibe ${\displaystyle {\overline {D_{r}(z_{0})}}:=\{z\in \mathbb {C} \,:\,|z-z_{0}|\leq r\}}$ ganz in ${\displaystyle U}$ liegt. Dies ist für weitere Beweisschritte wesentlich, damit auch für kleinere Radien ${\displaystyle 0<{\widehat {r}}<r}$ die Spur von ${\displaystyle \gamma _{\widehat {r}}}$ noch in ${\displaystyle U_{0}}$ liegt.

Da ${\displaystyle f}$ auf ${\displaystyle U_{0}}$ mit ${\displaystyle |f(\zeta )|\leq M}$ für alle ${\displaystyle \zeta \in U_{0}}$ beschränkt ist, gilt:

${\displaystyle |a_{n}|\leq {\frac {1}{2\pi }}\underbrace {{\bigg |}\int _{\gamma }{\frac {|f(\zeta )|}{{\underbrace {|\zeta -z_{0}|} _{=r}}^{n+1}}}\,d\zeta {\bigg |}} _{\leq {\frac {2\pi rM}{r^{n+1}}}}\leq {\frac {M}{r^{n}}}}$

Dabei ist ${\displaystyle r}$ der Radius des Kreises um ${\displaystyle z_{0}}$ mit Umfang ${\displaystyle 2\pi r}$, der durch die Kurve ${\displaystyle \gamma }$ definiert ist.

Für ${\displaystyle n<0}$ wird ${\displaystyle |a_{n}|}$ beliebig klein, da die Darstellung der Koeffizienten

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma _{\widehat {r}}}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -z_{0})^{n+1}}}\,d\zeta }$

auch für beliebige ${\displaystyle {\widehat {r}}<r}$ gilt und damit kann ${\displaystyle |a_{n}|}$ wie folgt für ${\displaystyle n<0}$ abgeschätzt werden:

${\displaystyle |a_{n}|\leq {\frac {1}{2\pi }}\cdot {\frac {M}{{\widehat {r}}^{n}}}\,\,{\stackrel {{\widehat {r}}\to 0}{\longrightarrow }}\,\,0}$. Damit folgt aber ${\displaystyle a_{n}=0}$ für ${\displaystyle n<0}$.

Damit reduzieren sich die Summanden der darstellenden Laurent-Reihe von ${\displaystyle f}$ um ${\displaystyle z_{0}}$ wie folgt:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}}$

für ${\displaystyle z}$ in einer punktierten Umgebung von ${\displaystyle z_{0}}$, der Nebenteil der Laurentreihe ist also als Potenzreihe darstellbar.

Die Laurent-Reihe reduziert sich auf der punktierten Umgebung ${\displaystyle U_{0}}$ somit zu einer Taylor-Reihe:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}}$

Diese Potenzreihe definiert aber auch eine holomorphe Funktion ${\displaystyle f^{\ast }}$ auf ${\displaystyle U}$, die für alle ${\displaystyle z\in U_{o}=U\setminus \{z_{0}\}}$ dann ${\displaystyle f^{\ast }(z)=f(z)}$ erfüllt und für ${\displaystyle z=z_{0}}$ die Funktion ${\displaystyle f}$ mit ${\displaystyle f^{\ast }(z_{0})=a_{0}}$ holomorph fortsetzt.

Damit ist gezeigt, dass sich die isolierte Singularität bei ${\displaystyle z_{0}}$ hebbar ist und ${\displaystyle f}$ sich zu einer holomorphen Funktion auf ${\displaystyle U}$ fortsetzen lässt. ${\displaystyle \Box }$

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