Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten

Der Beweis gliedert sich in die folgenden Beweischritte

• Holomorphe Funktion
• Konvexes Gebiet
• Stammfunktion

Um zu zeigen, dass eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet eine Stammfunktion besitzt, können man den Satz von Cauchy und den Satz von Morera verwenden.

Eine Funktion ${\displaystyle f:G\to \mathbb {C} }$ ist holomorph auf einem Gebiet ${\displaystyle G\subseteq \mathbb {C} }$, wenn ${\displaystyle f}$ in jedem Punkt von ${\displaystyle G}$ komplex differenzierbar ist.

Ein Gebiet ${\displaystyle G\subseteq \mathbb {C} }$ ist konvex, wenn für jede zwei Punkte ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in G}$, wenn jede Konvexkombination die ${\displaystyle z_{1}}$ und ${\displaystyle z_{2}}$ verbindet, ebenfalls in ${\displaystyle G}$ liegt.

Eine Funktion ${\displaystyle F:G\to \mathbb {C} }$ ist eine Stammfunktion von ${\displaystyle f}$, wenn ${\displaystyle F'(z)=f(z)}$ für alle ${\displaystyle z\in \Omega }$.

Sei ${\displaystyle f:G\to \mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet ${\displaystyle G}$. Man zeigt nun, dass ${\displaystyle f}$ eine Stammfunktion ${\displaystyle F}$ besitzt.

Ein Punkt ${\displaystyle z_{o}\in G}$ wird gewählt. Der Punkt ${\displaystyle z_{o}}$ dient als fester Anfangspunkt eines Integrationsweges ${\displaystyle \gamma _{(z_{o},z)}:[0,1]\to \mathbb {C} }$ von ${\displaystyle z_{o}}$ als Konvexkombination von ${\displaystyle z_{o}}$ nach ${\displaystyle z\in G}$.

${\displaystyle \gamma _{[z_{o},z]}(t):=(1-t)\cdot z_{o}+t\cdot z}$.

Man definiert nun die Funktion ${\displaystyle F:G\to \mathbb {C} }$ durch

${\displaystyle F(z)=\int _{\gamma _{[z_{o},z]}}f(\zeta )\,d\zeta .}$

Dass diese definierte Funktion ${\displaystyle F}$ eine Stammfunktion von ${\displaystyle f}$ wird im weitere Verlauf gezeigt.

Man muss nun zeigen, dass ${\displaystyle F}$ differenzierbar ist und ${\displaystyle F'(z)=f(z)}$ gilt.

Sei ${\displaystyle z\in G}$ und ${\displaystyle h\in \mathbb {C} }$ so klein gewählt, dass ${\displaystyle z+h\in G}$ ebenfalls. Dies ist möglich, da ${\displaystyle G}$ offen ist.

Für die Darstellung des Differenzquotienten ${\displaystyle {\frac {F(z+h)-F(z)}{h}}}$ berechnet man zunächst:

${\displaystyle F(z+h)-F(z)=\int _{\gamma _{[z_{o},z+h]}}f(\zeta )\,d\zeta -\int _{\gamma _{[z_{o},z]}}f(\zeta )\,d\zeta .}$

Man die Funktion ${\displaystyle F}$ als Wegintegral über ${\displaystyle f}$ von dem Punkt ${\displaystyle z_{o}}$ nach ${\displaystyle z}$.

Man betrachtet das Dreieck ${\displaystyle \Delta (z_{o},z+h,z)\subset G}$ und die Integration über den Dreiecksrand mit dem Lemma von Goursat:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}0&=&\int _{\gamma _{[z_{o},z+h]}}f(\zeta )\,d\zeta +\int _{\gamma _{[z+h,z]}}f(\zeta )\,d\zeta +\int _{\gamma _{[z,z_{o}]}}f(\zeta )\,d\zeta \\&=&F(z+h)+\int _{\gamma _{[z+h,z]}}f(\zeta )\,d\zeta -F(z)\\\end{array}}}$

Da ${\displaystyle G}$ konvex ist, liegt die Spur des Weges ${\displaystyle \gamma _{[z,z+h]}}$ auch ganz in ${\displaystyle G}$.

Mit ${\displaystyle \int _{\gamma _{[z,z_{o}]}}f(\zeta )\,d\zeta =-F(z)}$ und ${\displaystyle \int _{\gamma _{[z+h,z]}}f(\zeta )\,d\zeta =-\int _{\gamma _{[z,z+h]}}f(\zeta )\,d\zeta }$ ergibt sich daher:

${\displaystyle F(z+h)-F(z)=\int _{\gamma _{[z,z+h]}}f(\zeta )\,d\zeta .}$

Nun betrachten man den Grenzwert für den Differenzenquotienten:

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {F(z+h)-F(z)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\int _{\gamma _{[z,z+h]}}f(\zeta )\,d\zeta .}$

Da ${\displaystyle f}$ stetig ist, können wir den Mittelwertsatz für holomorphe Funktionen anwenden:

${\displaystyle \int _{z}^{z+h}f(\zeta )\,d\zeta =f(z)h+o(h),}$

wobei ${\displaystyle o(h)}$ eine Funktion ist, die schneller als ${\displaystyle h}$ gegen Null konvergiert.

Daher gilt:

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {F(z+h)-F(z)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(z)h+o(h)}{h}}=f(z).}$

Dies zeigt, dass ${\displaystyle F}$ differenzierbar ist und dass ${\displaystyle F'(z)=f(z)}$.

Insgesamt wurde gezeigt, dass ${\displaystyle F}$ eine holomorphe Funktion und ${\displaystyle F'=f}$ auf einem konvexen Gebiet ${\displaystyle G}$ gilt. Also ist ${\displaystyle F}$ eine Stammfunktion ${\displaystyle f}$, die über ${\displaystyle F(z)}$ durch das Wegintegral über ${\displaystyle f}$ von ${\displaystyle z_{o}}$ nach ${\displaystyle z}$ definiert. Gezeigt, dass die Stammfunktion ${\displaystyle F}$ wohldefiniert und differenzierbar ist.

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