Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl

Es sei ${\displaystyle \Gamma }$ ein Zyklus in ${\displaystyle \mathbb {C} }$, und ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ein Punkt, den ${\displaystyle \Gamma }$ nicht trifft. Dann heißt

${\displaystyle n(\Gamma ,z):={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {1}{w-z}}\,dw}$

die Umlaufzahl von ${\displaystyle \Gamma }$ um ${\displaystyle z}$.

Betrachten wir zunächst den Fall, dass ${\displaystyle \Gamma =\gamma }$ nur aus einer einzelnen geschlossenen Kurve besteht, dann ist ${\displaystyle \gamma }$ in ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{z\}}$ homolog zu einem ${\displaystyle n}$-fach (für ein ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$) durchlaufenen Kreis ${\displaystyle \partial D_{r}(z)}$ um ${\displaystyle z}$ mit ${\displaystyle r>0}$. Nun ist

${\displaystyle \int _{\gamma }{\frac {1}{w-z}}\,dw=\int _{n\cdot \partial B(z)}{\frac {1}{w-z}}\,dw=n\int _{\partial B(z)}{\frac {1}{w-z}}\,dw=2\pi i\cdot n}$

zählt dieses Integral, wie oft die Kurve ${\displaystyle \gamma }$ den Punkt ${\displaystyle z}$ umläuft.

Sei der geschlossene Integrationweg ${\displaystyle \gamma :[-\pi ,+\pi ]\to \mathbb {C} }$ wie folgt definiert:

${\displaystyle \gamma (t):=\left(2+cos(t)\right)\cdot e^{2it}}$

• Zeichnen/plotten Sie die Spur des Integrationsweges.
• Geben Sie die Umlaufzahl für ${\displaystyle n(\gamma ,0)}$ an.
• Geben Sie die Umlaufzahl für ${\displaystyle n(\gamma ,1)}$ an, wenn diese berechenbar ist.

Falls die Umlaufzahl nicht berechenbar ist, geben Sie den Grund dafür an.

Für einen Zyklus ${\displaystyle \Gamma =\sum _{i=1}^{k}n_{i}\cdot \gamma _{i}}$ mit geschlossenen ${\displaystyle \gamma _{i}}$ ist wegen der Additivität des Integrals gerade

${\displaystyle n(\Gamma ,z)=\sum _{i=1}^{k}n_{i}\cdot n(\gamma _{i},z)}$

also zählt die Umlaufzahl auch hier, wie oft der Punkt ${\displaystyle z}$ umlaufen wird.

Für einen Zyklus ${\displaystyle \Gamma =\sum _{i=1}^{k}n_{i}\gamma _{i}}$ mit geschlossenen ${\displaystyle \gamma _{i}}$ wird die Länge des Zyklus additiv über die Länge der einzelnen Integrationswege definiert.

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\Gamma ):=\sum _{i=1}^{k}n_{i}\cdot {\mathcal {L}}(\gamma _{i}).}$

• Cauchysche Integralformel für Zyklen