Kurs:Funktionentheorie/Wege

Gegeben sei eine Teilmenge ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$. Ein Weg in ${\displaystyle U}$ ist eine stetige Abbildung mit

${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\rightarrow U}$ mit ${\displaystyle a<b}$ und ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$.

Die Spur eines Weges ${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\rightarrow U}$ in ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$ ist das Bild der Funktion ${\displaystyle \gamma }$.

${\displaystyle \mathrm {Spur} (\gamma ):=\{\gamma (t)\in \mathbb {C} \ |\ t\in [a,b]\}}$

Gegeben sei ein Weg ${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\rightarrow U}$ in ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$. Die Abbildung ${\displaystyle \gamma }$ heißt geschlossener Weg wenn gilt:

${\displaystyle \gamma (a)=\gamma (b)}$

Sei ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Dann nennt man ${\displaystyle U}$ Bereich.

Sei ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$ eine nicht-leere Menge.

${\displaystyle U}$ wegzusammenhängend ${\displaystyle :\Longleftrightarrow \ \forall _{z_{1},z_{2}\in U}\exists _{\gamma \colon [a,b]\rightarrow U}:\ \gamma (a)=z_{1}\wedge \gamma (b)=z_{2}\wedge Spur(\gamma )\subseteq U}$

Sei ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$ eine nicht-leere Teilmenge ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Ist

• ${\displaystyle G}$ offen
• ${\displaystyle G}$ wegzusammenhängend

Dann nennt man ${\displaystyle G}$ ein Gebiet ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Es seien ${\displaystyle z_{o}\in \mathbb {C} }$ und eine komplexe Zahl und ${\displaystyle r>0}$ als Radius gegeben. Dazu definiert man einen Kreisweg ${\displaystyle \gamma _{z_{o},r}\colon [0,2\pi ]\rightarrow \mathbb {C} }$ um ${\displaystyle z_{o}\in \mathbb {C} }$ als:

${\displaystyle \gamma _{z_{o},r}(t):=z_{o}+r\cdot e^{i\cdot t}}$

Es seien ${\displaystyle z_{o}\in \mathbb {C} }$ und eine komplexe Zahl und ${\displaystyle a,b>0}$ als Halbachsen einer Ellipse gegeben. Dazu definiert man einen elliptischen Weg ${\displaystyle \gamma _{z_{o},a,b}\colon [0,2\pi ]\rightarrow \mathbb {C} }$ um ${\displaystyle z_{o}\in \mathbb {C} }$ als:

${\displaystyle \gamma _{z_{o},a,b}(t):=z_{o}+a\cdot \cos(t)+i\cdot b\cdot \sin(t)}$

Es seien ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} }$ komplexe Zahlen und ${\displaystyle t\in [0,1]}$ als Skalar gegeben. Damit definiert man einen Weg ${\displaystyle \gamma _{z_{1},z_{2}}\colon [0,1]\rightarrow \mathbb {C} }$, der die Verbindungsstrecke zwischen ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} }$ als Spur beinhaltet:

${\displaystyle \gamma _{z_{1},z2}(t):=(1-t)\cdot z_{1}+t\cdot z_{2}}$

Einen solchen Weg nennt man Konvexkombination 1. Ordnung (siehe auch Konvexkominationen höherer Ordung)

Gegeben sei ein Gebiet ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$. Ein Integrationsweg in ${\displaystyle G}$ ist ein Weg, der stückweise stetig differenzierbar ist mit

${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\rightarrow U}$ mit ${\displaystyle a<b}$ und ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$.

Ein Integrationweg kann z.B. durch stückweise durch Konvexkombinationen zwischen mehreren Punkten ${\displaystyle z_{1},\ldots z_{n}\in \mathbb {C} }$ ausgedrückt werden. Der gesamte Weg damit insbesondere an den Punkten ${\displaystyle z_{1},\ldots z_{n}\in \mathbb {C} }$ nicht notwendig differzierbar. Die Spur eines solchen Weges nennt man auch Polygonzug.

• Ellipse
• Konvexkombination
• Wege in topologischen Vektorräumen

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