Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche

Die Konvergenzbereiche von Haupt- und Nebenteil der Laurent-Reihe sind im Wesentlichen Kreischeiben, wobei der Konvergenzbereiche für den Nebenteil die Punkte im Inneren einer Kreisscheibe und für den Hauptteil die Punkte außerhalb des Komplementes eine Kreisschreibe enthält und für diese Punkte Nebenteil bzw. Hauptteil absolut konvergent ist.

Für die Punkte auf dem Kreisrand kann es der Fall sein, dass der Hauptteil bzw. Nebenteil konvergiert oder divergiert.

Das Abelsche Lemma ist der zentral Satz in der Funktionentheorie, der die Konvergenz von Potenzreihen untersucht. Durch die Operation ${\displaystyle h(z)={\frac {1}{z}}}$ kann man die Aussage für Potenzreihen von dem Nebenteil auf den Hauptteil der Laurent-Reihe übertragen. Dabei wird die punktierte kreiförmige Umgebung ${\displaystyle U_{1}:=D_{r}(z_{o})\setminus \{z_{0}\}}$ auf das Komplement der Kreisscheibe ${\displaystyle U_{2}:=\mathbb {C} \setminus {\overline {D_{\frac {1}{r}}(z_{o})}}}$ bijektiv abgebildet.

Eine Laurent-Reihe konvergiert für ein ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$, wenn sowohl der Hauptteil als auch der Nebenteil für das ${\displaystyle z}$ konvergiert. Mit dem Abelschen Lemma enthält der Konvergenzbereich einer Laurent-Reihe im Wesentliche aus dem Schnitt einer Kreisschreibe mit einem Komplement einer Kreisscheibe. Der Konvergenzbereich besteht ohne Berücksichtung der Ränder daher aus einem offenen Kreisring, wobei Punkte auf dem Rand des Kreisringes auch zum Konvergenzbereich der Laurent-Reihe gehören können.

Sei ${\displaystyle z_{0}\not =0}$ und ${\displaystyle f(z):=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\cdot z^{n}}$ eine Potenzreihe, für die die Menge ${\displaystyle \{|a_{n}\cdot z_{0}^{n}|\,:\,n\in \mathbb {N} _{0}\}}$ beschränkt ist, dann konvergiert die Reihe ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$ gleichmäßig auf jeder abgeschlossenen Kreisscheibe ${\displaystyle {\overline {D_{R}(0)}}:=\{z\in \mathbb {C} \,:\,|z|\leq R\}}$ mit ${\displaystyle R<|z_{0}|}$.

Der Beweis gliedert sich in die folgenden Beweischritte

• Konvergenz der Reihe für ${\displaystyle R>0}$ - Majorante geometrische Reihe.
• Gleichmäßige Konvergenz auf der abgeschlossenen Kreisscheibe ${\displaystyle {\overline {D_{R}(0)}}}$,
• Abschätzung der Restsumme der Reihe
• gleichmäßige Konvergenz und Partialsummen
• Schlussfolgerung für den Konvergenzbereich

Durch ${\displaystyle z_{0}\not =0}$ und der Beschränktheit der Summenterme ${\displaystyle |a_{n}\cdot z_{0}^{n}|\leq M}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ergibt sich für jedes ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle |z|\leq R<|z_{0}|}$ ein geometrische Reihe als Majorante.

${\displaystyle \left|\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\cdot z^{n}\right|\leq \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\cdot z^{n}\right|\leq \sum _{n=0}^{\infty }\underbrace {\left|a_{n}\cdot z_{0}^{n}\right|} _{\leq M}\cdot {\frac {\left|z^{n}\right|}{\left|z_{0}^{n}\right|}}\leq M\cdot \sum _{n=0}^{\infty }{\underbrace {\left({\frac {R}{|z_{0}|}}\right)} _{=q<1}}^{n}}$

Für jedes ${\displaystyle R>0}$ mit ${\displaystyle R<|z_{0}|}$ konvergiert die Reihe ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\cdot R^{n}}$ absolut. Dies bedeutet insbesondere, dass die Partialsummen ${\displaystyle f_{N}(R)=\sum _{n=0}^{N}a_{n}R^{n}}$ eine konvergente Folge bilden.

Um die gleichmäßige Konvergenz auf ${\displaystyle {\overline {D_{R}(0)}}}$ zu zeigen, betrachtet man die Partialsummen ${\displaystyle f_{N}(z)=\sum _{n=0}^{N}a_{n}\cdot z^{n}}$ für ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle |z|\leq R}$ und bezeichnen die Potenzreihe mit ${\displaystyle f(z):=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\cdot z^{n}}$. Zu zeigen ist nun die gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge ${\displaystyle (f_{N})_{N\in \mathbb {N} }}$ gegen ${\displaystyle f}$, d.h.

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \exists N_{o}\in \mathbb {N} \ \forall x\in {\overline {D_{R}(0)}}\ \forall N\geq N_{o}:\quad \left|f_{N}(x)-f(x)\right|<\varepsilon ,}$

Für ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle |z|\leq R}$ und ${\displaystyle N<M}$ gilt:

${\displaystyle \left|f(z)-f_{N}(z)\right|=\left|\sum _{n=N+1}^{\infty }a_{n}\cdot z^{n}\right|\leq \sum _{n=N+1}^{\infty }|a_{n}|\cdot |z|^{n}\leq \sum _{n=N+1}^{\infty }|a_{n}|\cdot R^{n}}$

Da die Reihe ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|\cdot R^{n}}$ konvergiert, wird der Restterm ${\displaystyle \sum _{n=N+1}^{\infty }|a_{n}|\cdot R^{n}}$ beliebig klein, wenn ${\displaystyle N}$ groß genug gewählt wird.

Für gleichmäßige Konvergenz mussen man zeigen, dass für jedes ${\displaystyle \epsilon >0}$ ein ${\displaystyle N_{\varepsilon }}$ existiert, sodass für alle ${\displaystyle N>N_{\varepsilon }}$ und alle ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle |z|\leq R}$ gilt:

${\displaystyle |f(z)-f_{N}(z)|=\left|\sum _{n=N+1}^{\infty }a_{n}\cdot z^{n}\right|<\epsilon }$

Sei nun ${\displaystyle N_{\varepsilon }}$ mit der Konvergenz von ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|\cdot R^{n}}$ so gewählt, dass die folgende Ungleichung gilt: ${\displaystyle \sum _{n=N_{\varepsilon }+1}^{\infty }|a_{n}|\cdot R^{n}<\epsilon }$ gilt. Dann erhält man für ${\displaystyle N\geq N_{\epsilon }}$:

${\displaystyle |f(z)-f_{N}(z)|\leq \sum _{n=N+1}^{\infty }\left|a_{n}\right|\cdot \left|z^{n}\right|\leq \sum _{n=N_{\varepsilon }+1}^{\infty }\left|a_{n}\right|\cdot \underbrace {\left|z^{n}\right|} _{\leq R^{n}}<\epsilon }$

Da die Bedingung des Cauchy-Kriteriums erfüllt ist, konvergiert die Reihe ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$ gleichmäßig auf ${\displaystyle z\in {\overline {D_{R}(0)}}}$.

Sei ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$ eine Potenzreihe und ${\displaystyle r>0}$. Wenn die Reihe ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}r^{n}}$ divergiert, dann ist die Reihe ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$ für alle ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle |z|>r}$ nicht absolut konvergent.

Führen Sie den Beweis für das Korrollar durch Widerspruch über die Anwendung des Abelsche Lemmas.

Sei ${\displaystyle f(z):=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$ eine Potenzreihe mit dem Konvergenzradius ${\displaystyle R}$, die für ein ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle |z|=R}$ absolut konvergiert. Zeigen Sie, dass die darstellende Reihe der folgenden Funktion ${\displaystyle g:=f\circ h}$ mit ${\displaystyle h(z)={\frac {1}{z}}}$ auf ${\displaystyle U:=\mathbb {C} \setminus D_{\frac {1}{R}}(0)}$ absolut konvergiert.

• kreisförmige Menge
• Potenzreihenalgebra

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