Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve

Rektifizierbare Kurven sind ein wichtiger Begriff aus der Theorie der Kurvenintegrale. Sie sind diejenigen Kurven, die als Integrationsbereich auftreten können.

Sei ${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {C} }$ eine stetige Kurve. Sie heißt rektifizierbar, wenn ihre Länge

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\gamma ):=\sup \left\{\sum _{i=1}^{n}|\gamma (t_{i})-\gamma (t_{i-1})|\ {\bigg |}\ n\in \mathbb {N} ,a\leq t_{0}<\ldots <t_{n}\leq b\right\}}$

endlich ist, ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\gamma )}$ heißt Länge von ${\displaystyle \gamma }$.

Die folgende Abbildung zeigt, wie eine Polygonzug ${\displaystyle P}$ zur Approximation der Länge einer Kurve ${\displaystyle \gamma }$ verwendet werden kann.

Die Länge des Polygonzuges ${\displaystyle P_{n}}$ (blau in obiger Abbildung) unterschätzt die tatsächlich Länge einer rektifizierbaren Kurve ${\displaystyle \gamma }$, d.h. ${\displaystyle {\mathcal {L}}(P_{n})\leq {\mathcal {L}}(\gamma )}$. In der Regel gilt ${\displaystyle {\mathcal {L}}(P_{n})<{\mathcal {L}}(\gamma )}$. Durch Anwendung der Dreiecksungleichung erhält man die ${\displaystyle <}$, wenn die Spur des Weges keine Gerade ist.

Ist ${\displaystyle \gamma }$ stetig differenzierbar, so ist ${\displaystyle \gamma }$ rektifizierbar. Seien nämlich ${\displaystyle a\leq t_{0}<\ldots <t_{n}\leq b}$, dann gibt es nach dem Mittelwertsatz ${\displaystyle \tau _{i}\in (t_{i-1},t_{i})}$ so, dass

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|\gamma (t_{i})-\gamma (t_{i-1})|=\sum _{i=1}^{n}|{\gamma '(\tau _{i})}|\cdot (t_{i}-t_{i-1})}$

Die rechte Seite der obigen Gleichung für den Polygonzug ist eine Riemannsche Summe für das Integral ${\displaystyle \int _{a}^{b}|\gamma {\,}'(t)|\,dt}$. Geht man das Maximum der Intervallbreiten ${\displaystyle \max _{i\in \{1,\ldots ,n\}}(t_{i}-t_{t-1})}$ für ${\displaystyle n}$ gegen ${\displaystyle \infty }$ gegen 0, konvergiert bei stetig differenzierbaren Wege die Länge der Polygonzüge ${\displaystyle {\mathcal {L}}(P_{n})}$ gegen die Länge des Weges ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\gamma )}$

Sei ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb {C} }$ ein stetig differenzierbarer Weg, dann liefert

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\gamma )=\int _{a}^{b}|\gamma '(t)|\,dt}$

die Länge des Weges ${\displaystyle \gamma }$.

Da ${\displaystyle \gamma }$ stetig differenzierbar ist, ist ${\displaystyle \gamma {\,}'}$ als stetige Funktion. Da ${\displaystyle [a,b]}$ auf dem kompakten Intervall ist, nimmt die stetige Funktion ein Minimum bzw. Maximum an. Damit ist beschränkt ${\displaystyle \gamma {\,}'}$ und ${\displaystyle |\gamma {\,}'|}$ beschränkt und es gilt:

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\gamma )=\int _{a}^{b}|\gamma '(t)|\,dt<\infty }$

Allgemeiner sind stückweise ${\displaystyle C^{1}}$-Kurven stets rektifizierbar, weil man die obigen Überlegung auf die einzelnen Teile der Kurve an, die dann additive die Länge der gesamten Kurve liefert. Im weiteren Verlauf der Funktionentheorie werden Weg (z.B. über den Dreiecksrand) betrachtet, die nur stückweise die Eigenschaft der stetigen Differenzierbarkeit besitzen, für die man dann trotzdem wie bei einem Dreiecksrand über stückweise den Umfang als Summe der Streckenlängen berechnet.

Als Beispiel für eine nicht rektifizierbare Kurve betrachte ${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to \mathbb {C} }$,

${\displaystyle t\mapsto \left\{{\begin{array}{ll}0&t=0\\t+it\cos t^{-1}&t>0\end{array}}\right.}$

Zunächst ist ${\displaystyle \gamma }$ stetig und auf jedem Intervall ${\displaystyle [\epsilon ,1]}$ sogar stetig differenzierbar. Auf diesen Intervallen ergibt sich die Länge

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\gamma |_{[\epsilon ,1]})=\int _{\epsilon }^{1}\left|1-{\frac {i}{t}}\sin t^{-1}\right|\,dt.}$

Für ${\displaystyle \epsilon >0}$ konvergiert dies gegen

${\displaystyle \int _{0}^{1}\left(1+{\frac {1}{t^{2}}}\sin ^{2}t^{-1}\right)^{1/2}\,dt=\infty }$

also ist ${\displaystyle \gamma }$ nicht rektifizierbar.

• Lemma von Goursat

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