Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2025-2026)/Arbeitsblatt 14/latex
\setcounter{section}{14}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $R$ und $S$
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und sei
\maabb {\varphi} { R } { S
} {}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{.}
Es sei ${\mathfrak p}$ ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
in $S$. Zeige, dass das Urbild
\mathl{\varphi^{-1}( {\mathfrak p} )}{} ein Primideal in $R$ ist.
Zeige durch ein Beispiel, dass das Urbild eines \definitionsverweis {maximalen Ideales}{}{} kein maximales Ideal sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Primideale}{}{}
in $R_S$ genau denjenigen Primidealen in $R$ entsprechen, die mit $S$ einen leeren Durchschnitt haben.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe das
\definitionsverweis {Spektrum}{}{}
\mathl{\operatorname{Spek} { \left( R_{\mathfrak p} \right) }}{} einer
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
eines
\definitionsverweis {kommutativen Ringes}{}{}
$R$ an einem
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
${\mathfrak p}$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} { R } { S
} {}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {kommutativen Ringen}{}{}
\mathkor {} {R} {und} {S} {}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ \in }{ \operatorname{Spek} { \left( S \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{.}
Zeige, dass es natürliche Ringhomomorphismen
\maabbdisp {} { R_{ \varphi^{-1}( {\mathfrak p} )} } { S_{\mathfrak p}
} {}
\zusatzklammer {zwischen den
\definitionsverweis {Lokalisierungen}{}{}} {} {}
und
\maabbdisp {} { \kappa { \left( \varphi^{-1}( {\mathfrak p} ) \right) } } { \kappa { \left( {\mathfrak p} \right) }
} {}
\zusatzklammer {zwischen den
\definitionsverweis {Restekörpern}{}{}} {} {}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und seien $R$ und $S$ integre,
\definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebren}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} { R } { S
} {}
ein
$K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{}
und ${\mathfrak n}$ ein
\definitionsverweis {maximales Ideal}{}{}
in $S$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi^{-1}( {\mathfrak n})
}
{ = }{ {\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Abbildung induziere einen
\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{}
\maabb {} { R_{\mathfrak m} } { S_{\mathfrak n}
} {.}
Zeige, dass es dann auch ein
\mathbed {f \in R} {}
{f \not \in {\mathfrak m}} {}
{} {} {} {,}
derart gibt, dass
\maabb {} { R_f } { S_{\varphi (f)}
} {}
ein Isomorphismus ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{} zur \definitionsverweis {Reduktion}{}{} \maabbdisp {} { R } { R/ {\mathfrak n}_R } {} eines \definitionsverweis {kommutativen Ringes}{}{} $R$ eine \definitionsverweis {Homöomorphie}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
der einen
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der positiven
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
enthalte
\zusatzklammer {dabei ist $p$ eine Primzahl} {} {.}
Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} { R } { R
} { f } {f^p
} {,}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
ist, den man den \stichwort {Frobeniushomomorphismus} {} nennt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
der
\definitionsverweis {positiven Charakteristik}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{}
zum
\definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} { R } { R
} { f } {f^p
} {,}
eine
\definitionsverweis {Homöomorphie}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.}
Bestimme die
\definitionsverweis {Fasern}{}{}
zur
\definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{}
zur Ringerweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ \subseteq }{ R[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Fasern}{}{}
der
\definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \R[X]
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
Wenn der Grundkörper die komplexen Zahlen sind, so gibt es auf dem ${\mathbb C}$-Spektrum auch eine komplexe Topologie, die wesentlich feiner als die Zariski-Topologie ist. Dies wird in den folgenden Aufgaben entwickelt.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ eine \definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{} \definitionsverweis {kommutative}{}{}
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.}
Zeige, dass es auf dem
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Spektrum}{}{}
\mathl{{\mathbb C}\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{} eine \stichwort {natürliche Topologie} {}
\zusatzklammer {oder \stichwort {komplexe Topologie} {}} {} {}
gibt, die im Falle des Polynomringes
\mathl{{\mathbb C}[X_1 , \ldots , X_n]}{} mit der metrischen Topologie auf dem ${\mathbb C}^n$ übereinstimmt. Zeige ferner, dass zu einem
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{}
\maabb {\varphi} { R } { S
} {}
zwischen endlich erzeugten ${\mathbb C}$-Algebren
\mathkor {} {R} {und} {S} {}
die induzierte Abbildung
\maabbdisp {} { {\mathbb C}\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( S \right) } } { {\mathbb C}\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }
} {}
stetig in der natürlichen Topologie ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb C}[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein nichtkonstantes
\definitionsverweis {Polynom}{}{.}
Zeige, dass die Funktion
\maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} { z } { P(z)
} {,}
die Eigenschaft besitzt, dass
\definitionsverweis {Urbilder}{}{}
von
\definitionsverweis {beschränkten Teilmengen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beschränkt sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F_1 , \ldots , F_k
}
{ \in }{ {\mathbb C}[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Polynome mit der Eigenschaft, dass der dadurch definierte
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} { {\mathbb C}[Y_1 , \ldots , Y_k] } { {\mathbb C}[X_1 , \ldots , X_n]
} { Y_j } { F_j
} {,}
\definitionsverweis {ganz}{}{}
ist. Zeige, dass die zugehörige Abbildung
\maabbeledisp {} { {\mathbb C}^n } { {\mathbb C}^k
} { (x_1 , \ldots , x_n) } { (F_1(x_1 , \ldots , x_n) , \ldots , F_k (x_1 , \ldots , x_n) )
} {,}
die Eigenschaft besitzt, dass
\definitionsverweis {Urbilder}{}{}
von
\definitionsverweis {beschränkten Teilmengen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}^k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wieder beschränkt sind.
}
{} {}
Man folgere, dass in der vorstehenden Situation die Abbildung $F$ \definitionsverweis {eigentlich}{}{} ist, dass also Urbilder kompakter Teilmengen wieder kompakt sind, und dass $F$ \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} ist.
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ \subseteq }{ R[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {going-up}{}{-}Eigenschaft nicht gelten muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{} zur \definitionsverweis {Normalisierung}{}{} einer \definitionsverweis {monomialen Kurve}{}{} eine \definitionsverweis {Homöomorphie}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabb {} { R } { S } {} ein \definitionsverweis {endlicher Ringhomomorphismus}{}{} zwischen \definitionsverweis {kommutativen Ringen}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Fasern}{}{} der \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{} \maabbdisp {} { \operatorname{Spek} { \left( S \right) } } { \operatorname{Spek} { \left( R \right) } } {} aus endlich vielen Punkten bestehen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Fasern}{}{}
der
\definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Q[X]
}
{ \subseteq }{ \R[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Welche sind endlich?
}
{} {}