Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2025-2026)/Arbeitsblatt 20/latex
\setcounter{section}{20}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Überprüfe Korollar 20.4 für die \definitionsverweis {symmetrische Gruppe}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {spezielle lineare Gruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{SL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} keine
\definitionsverweis {Pseudoreflektionen}{}{}
enthält.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sigma
}
{ \in }{ \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Pseudoreflektion}{}{}
und $G$ die von $\sigma$
\definitionsverweis {erzeugte}{}{} \definitionsverweis {zyklische Gruppe}{}{.}
Zeige direkt, dass der Invariantenring
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]^G}{} ein
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine
\definitionsverweis {Reflektionsgruppe}{}{}
$G$ und eine nichttrivale Untergruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die keine
\definitionsverweis {Pseudoreflektion}{}{}
enthält.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {symmetrische Gruppe}{}{}
$S_n$ mit ihrer natürlichen Einbettung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S_n
}
{ \subseteq }{ \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sigma
}
{ \in }{ S_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann eine
\definitionsverweis {Transposition}{}{}
ist, wenn $\sigma$ eine
\definitionsverweis {Pseudoreflektion}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} ein
\definitionsverweis {freier Modul}{}{}
über dem Polynomring
\mathl{K[E_1 , \ldots , E_n]}{} der
\definitionsverweis {elementarsymmetrischen Polynome}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Beweise die folgenden Rechenregeln für das
\definitionsverweis {formale Ableiten}{}{}
\mathl{F \mapsto F'}{:}
\aufzaehlungdrei{Die Ableitung eines konstanten Polynoms ist $0$.
}{Die Ableitung ist
$K$-\definitionsverweis {linear}{}{.}
}{Es gilt die \stichwort {Produktregel} {,} also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (FG)'
}
{ =} { FG'+F'G
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $a$ genau dann eine
\definitionsverweis {mehrfache Nullstelle}{}{}
von $F$ ist, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F'(a)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, wobei $F'$ die
\definitionsverweis {formale Ableitung}{}{}
von $F$ bezeichnet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Man charakterisiere die Polynome
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{ K[X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Eigenschaft, dass
\aufzaehlungdrei{die erste
\definitionsverweis {partielle Ableitung}{}{,}
}{die zweite partielle Ableitung,
}{beide partiellen Ableitungen
}
$0$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H
}
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\zusatzklammer {in der
\definitionsverweis {Standardgraduierung}{}{}} {} {}
\definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{}
vom Grad $e$. Zeige die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ e H
}
{ =} { X_1 { \frac{ \partial H }{ \partial X_1 } } + \cdots + X_n { \frac{ \partial H }{ \partial X_n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F_1 , \ldots , F_m
}
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G_1 , \ldots , G_k
}
{ \in }{ K[Y_1 , \ldots , Y_m]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Polynome. Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H_i
}
{ =} { G_i(F_1 , \ldots , F_m)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {formalen partiellen Ableitungen}{}{}
die \anfuehrung{formale Kettenregel}{}
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \begin{pmatrix} { \frac{ \partial H _1 }{ \partial X _1 } } & \ldots & { \frac{ \partial H _{1} }{ \partial X _{ n } } } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\{ \frac{ \partial H _{ k } }{ \partial X _1 } } & \ldots & { \frac{ \partial H _{ k } }{ \partial X _{ n } } } \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ \partial G _1 }{ \partial Y _1 } } & \ldots & { \frac{ \partial G _{1} }{ \partial Y _{ m } } } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\{ \frac{ \partial G _{ k } }{ \partial Y _1 } } & \ldots & { \frac{ \partial G _{ k } }{ \partial Y _{ m } } } \end{pmatrix} { \left( { \frac{ F_j }{ Y_j } } \right) } \circ \begin{pmatrix} { \frac{ \partial F _1 }{ \partial X _1 } } & \ldots & { \frac{ \partial F _{1} }{ \partial X _{ n } } } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\{ \frac{ \partial F _{ m } }{ \partial X _1 } } & \ldots & { \frac{ \partial F _{ m } }{ \partial X _{ n } } } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllen, wobei der Ausdruck
\mathl{{ \frac{ F_j }{ Y_j } }}{} bedeutet, dass die Variablen $Y_j$ durch die Polynome $F_j$ zu ersetzen sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ K[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Standardgraduierung}{}{.}
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q, P_1 , \ldots , P_m
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {homogene Polynome}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \in} { K[P_1 , \ldots , P_m]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \in }{ K[P_j, \, j \in J ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei der Grad der
\mathbed {P_j} {}
{j \in J} {}
{} {} {} {,}
maximal gleich dem Grad von $Q$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {zyklische}{}{} \definitionsverweis {Reflektionsgruppe}{}{} derart, dass die Erzeuger der Gruppe keine \definitionsverweis {Pseudoreflektionen}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wie viele
\definitionsverweis {Pseudoreflektionen}{}{}
enthält die
\definitionsverweis {allgemeine lineare Gruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{GL}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb F}_3 \right) }}{} über dem Körper ${\mathbb F}_3$ mit drei Elementen.
}
{} {}
Die folgende Aussabe kann man bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit dem Satz von Chevalley
\zusatzklammer {der besagt, dass Bilder \anfuehrung{konstruierbarer Mengen}{} wieder konstruierbar sind} {} {}
und der
Transformationsformel
für Volumina beweisen. Gibt es auch einen elementaren algebraischen Beweis?
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$0$ und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q_1 , \ldots , Q_n
}
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {algebraisch unabhängige}{}{}
Polynome. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \left( { \left( { \frac{ \partial Q_i }{ \partial X_j } } \right) }_{ij} \right)
}
{ \neq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}