Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2025-2026)/Arbeitsblatt 22/latex
\setcounter{section}{22}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es liege eine
\definitionsverweis {Gruppenoperation}{}{}
einer
\definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ auf einer Menge $M$ vor.
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Isotropiegruppen}{}{}
zu zwei
\definitionsverweis {äquivalenten}{}{}
Elementen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in natürlicher Weise
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte den
Beweis
zu
Lemma 22.2
mit der dortigen Notation. Begründe die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungvierabc{Eine eigentliche Isometrie mit zwei Fixachsen ist die Identität.
}{ $G$ ist die Vereinigung aller $G_H$.
}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \neq }{
\operatorname{Id}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Das Element $g$ kommt in genau zwei der $G_H$ vor. In welchen?
}{Die Halbachsenklasse $K_i$ enthält $n/n_i$ Elemente.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Überprüfe die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2 { \left( 1- \frac{1}{ n} \right) }
}
{ =} { \sum_{i = 1}^m { \left( 1 - \frac{1}{n_i} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{} von
Lemma 22.2
für den Oktaeder, den Dodekaeder und den Ikosaeder.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{,} $M$ eine Menge und \maabbeledisp {} { G } { \operatorname{Perm} \, (M) } { g } { \sigma_g } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} in die \definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{} von $M$. Zeige, dass dies in natürlicher Weise einen Gruppenhomomorphismus \maabbeledisp {} { G } { \operatorname{Perm ( \mathfrak {P} \, (M ))} \, } { g } { (N \mapsto g(N)) } {,} in die Permutationsgruppe der \definitionsverweis {Potenzmenge}{}{} induziert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte ein \definitionsverweis {gleichseitiges Dreieck}{}{} mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt und mit $(1,0)$ als einem Eckpunkt. Bestimme die \zusatzklammer {eigentlichen und uneigentlichen} {} {} Matrizen, die den Symmetrien an diesem Dreieck entsprechen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme sämtliche Matrizen, die den Symmetrien eines Quadrates mit den Eckpunkten $(\pm 1, \pm 1)$ entsprechen. Sehen diese Matrizen für jedes Quadrat \zusatzklammer {mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt} {} {} gleich aus?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass sich jede endliche \definitionsverweis {Gruppe}{}{} als \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} der $\operatorname{SO}_{ n }\,(\R)$ realisieren lässt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel einer Raumdrehung, bei der sämtliche Matrixeinträge $\neq 0,1$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Ordnungen}{}{} der Elemente aus der \definitionsverweis {alternierenden Gruppe}{}{} $A_5$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {A_1, A_2, A_3} {und} {A_4} {}
vier Geraden im $\R^3$ durch den Nullpunkt mit der Eigenschaft, dass keine drei davon in einer Ebene liegen. Es sei
\maabbdisp {f} { \R^3 } { \R^3
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare, eigentliche Isometrie}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(A_i)
}
{ = }{ A_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ = }{ 1,2,3,4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $f$ die Identität ist. Man gebe ein Beispiel an, dass diese Aussage ohne die Ebenenbedingung nicht gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $\varphi_1, \varphi_2, \varphi_3$ Drehungen um die $x$-Achse, die $y$-Achse und die $z$-Achse mit den Ordungen $\ell_1, \ell_2, \ell_3$
\zusatzklammer {$\varphi_1$ ist also eine Drehung um den Winkel $360/\ell_1$ Grad um die $x$-Achse, etc.} {} {.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1
}
{ \leq }{ \ell_1
}
{ \leq }{ \ell_2
}
{ \leq }{ \ell_3
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für welche Tupel $( \ell_1, \ell_2, \ell_3)$ ist die von diesen drei Drehungen
\definitionsverweis {erzeugte Gruppe}{}{}
endlich?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige: Keine der \definitionsverweis {alternierenden Gruppen}{}{} $A_n$ besitzt eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} vom \definitionsverweis {Index}{}{} zwei.
}
{} {}