Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2025-2026)/Arbeitsblatt 27/latex
\setcounter{section}{27}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
In einer Wand befinden sich zwei Nägel, an denen eine Halskette aufgehängt werden soll. Wie kann man die Kette aufhängen, dass, sobald man nur einen der Nägel herauszieht, die Kette herrunterfällt?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Homotopie von Wegen}{}{}
eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
auf der Menge der
\definitionsverweis {stetigen Wege}{}{}
von $x$ nach $y$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{.} Zeige, dass die Verknüpfung von stetigen Wegen \maabbdisp {\gamma,\delta} { [0,1] } { X } {} durch Hintereinanderlegung zu einer wohldefinierten Verknüpfung auf den \definitionsverweis {Homotopieklassen von Wegen}{}{} führt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Verknüpfung eines stetigen geschlossenen Weges $\gamma$ mit Aufpunkt $x$ mit dem konstanten Weg $x$
\definitionsverweis {homotop}{}{}
zu $\gamma$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\gamma} { [0,1] } { X
} {}
ein
\definitionsverweis {stetiger Weg}{}{}
von
\mathkor {} {x} {nach} {y} {}
und sei
\mathl{\gamma^{-1}}{} der umgekehrt durchlaufene Weg, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma^{-1}(t)
}
{ \defeq }{ \gamma(1-t)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
\mathl{\gamma \gamma^{-1}}{}
\definitionsverweis {homotop}{}{}
zum konstanten Weg $x$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
von
\definitionsverweis {Homotopieklassen}{}{}
\definitionsverweis {geschlossener Wege}{}{}
mit Aufpunkt $x$
\definitionsverweis {assoziativ}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} und \maabbdisp {\gamma} {S^1} {X } {} ein \definitionsverweis {stetiger}{}{} \definitionsverweis {geschlossener Weg}{}{.} Zeige, dass $\gamma$ genau dann \definitionsverweis {nullhomotop}{}{} ist, wenn es eine stetige Fortsetzung von $\gamma$ auf die \definitionsverweis {abgeschlossene Kreisscheibe}{}{} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der $\R^n$ \definitionsverweis {kontrahierbar}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {\varphi} { X } { Y
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{}
zwischen
\definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(x)
}
{ = }{ y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Zuordnung
\mathdisp {\gamma \mapsto \varphi \circ \gamma} { }
eine wohldefinierte Abbildung auf der Menge der
\definitionsverweis {Homotopieklassen}{}{}
\definitionsverweis {geschlossener Wege}{}{}
\zusatzklammer {mit Aufpunkt $x$ bzw. $y$} {} {}
induziert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {\varphi} { X } { Y
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{}
zwischen
\definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(x)
}
{ = }{ y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Zuordnung
\mathdisp {\gamma \mapsto \varphi \circ \gamma} { }
zu einem
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} {\pi_1(X,x)} {\pi_1(Y,y)
} {}
führt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\mathl{\R^n \setminus \{P\}}{}
\definitionsverweis {einfach zusammenhängend}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {} {\Z} {\Z } {} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} und \maabbdisp {\varphi} { {\mathbb C} ^{\times} \cong { \left( \operatorname{Spek} { \left( {\mathbb C}[T,T^{-1} ] \right) } \right) }_{\mathbb C} } { {\mathbb C} ^{\times} \cong { \left( \operatorname{Spek} { \left( {\mathbb C}[T,T^{-1} ] \right) } \right) }_{\mathbb C} } {} die zugehörige \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{} zwischen den Spektra der \definitionsverweis {Monoidringe}{}{.} Wie sieht die zugehörige Abbildung der \definitionsverweis {Fundamentalgruppen}{}{} aus?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {\R } { S^1 } { t } { { \left( \cos t , \sin t \right) } } {,} eine \definitionsverweis {Überlagerung}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} ^{\times} = {\mathbb C} \setminus \{0\} } { z } { \exp z } {,} eine \definitionsverweis {Überlagerung}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Fundamentalgruppe}{}{}
des
\definitionsverweis {reell-projektiven Raumes}{}{}
\mathl{{\mathbb P}^{ n }_{\R}}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ {\mathbb C}[T_1 , \ldots , T_n]/ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{}
\definitionsverweis {positiv-graduierte}{}{}
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X
}
{ = }{ {\mathbb C}\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}^n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Spektrum}{}{}
von $R$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ = }{ { \left\{ z \in X \mid \Vert { z } \Vert = 1 \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die \anfuehrung{Sphäre}{} von $X$
\zusatzklammer {bezüglich der gegebenen Einbettung} {} {.}
Zeige, dass es eine
\definitionsverweis {Homotopieäquivalenz}{}{}
zwischen
\mathkor {} {X \setminus \{0\}} {und} {S} {}
gibt. Man folgere, dass die punktierte Fundamentalgruppe von $R$ gleich der Fundamentalgruppe von $S$ ist.
}
{} {}