Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2025-2026)/Arbeitsblatt 3/latex
\setcounter{section}{3}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
\definitionsverweis {Diagonalisiere}{}{}
die
\definitionsverweis {Permutationsmatrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \end{pmatrix}} { }
über ${\mathbb C}$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man bestimme zu jeder
\definitionsverweis {Permutation}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \pi
}
{ \in }{ S_3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für die zugehörige
\definitionsverweis {Permutationsmatrix}{}{}
die
\definitionsverweis {Eigengerade}{}{.}
}
{} {}
Die nächste Aufgabe verwendet die sogenannte \stichwort {Kleinsche Vierergruppe} {.} Dies ist einfach die Produktgruppe $\Z/(2) \times \Z/(2)$.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir interessieren uns für
\definitionsverweis {treue}{}{}
\definitionsverweis {Matrix-Darstellungen}{}{}
der
\definitionsverweis {Kleinschen Vierergruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ = }{ \Z/( 2 ) \times \Z/( 2 )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$.
\aufzaehlungfuenfabc{Zeige, dass es keine eindimensionale treue Darstellung von $G$ gibt.
}{Die
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
von $K$ sei nicht $2$. Zeige, dass es eine zweidimensionale treue Darstellung von $G$ gibt.
}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ \Z/(2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es keine zweidimensionale treue Darstellung von $G$ gibt.
}{Zeige, dass es einen Körper $K$ der Charakteristik $2$ derart gibt, dass es über $K$
eine zweidimensionale treue Darstellung von $G$ gibt.
}{Die Charakteristik von $K$ sei $2$. Zeige, dass es eine vierdimensionale treue Darstellung von $G$ gibt.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Überprüfe, dass die \definitionsverweis {reguläre Darstellung}{}{} in der Tat ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist. Wie sieht es aus, wenn man die reguläre Darstellung mit der \definitionsverweis {Rechtsmultiplikation}{}{} statt mit der \definitionsverweis {Linksmultiplikation}{}{} definiert?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass jede \definitionsverweis {endliche Gruppe}{}{} eine \definitionsverweis {treue Darstellung}{}{} innerhalb der \definitionsverweis {speziellen linearen Gruppe}{}{} besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde \definitionsverweis {treue Darstellungen}{}{} für $\Z$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde \definitionsverweis {treue Darstellungen}{}{} für $\Q$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {zyklische Untergruppe}{}{,}
die von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi
}
{ \in }{ \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erzeugt werde. Zeige, dass ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann
$G$-\definitionsverweis {invariant}{}{}
ist, wenn er
$\varphi$-\definitionsverweis {invariant}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{{\mathbb F}_q}{} ein
\definitionsverweis {endlicher Körper}{}{}
\zusatzklammer {mit $q$ Elementen} {} {.}
Bestimme die Anzahl der Elemente in
\mathdisp {\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( {\mathbb F}_q \right) }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{{\mathbb F}_{ q }}{} ein
\definitionsverweis {endlicher Körper}{}{.}
Bestimme die Anzahl der Elemente in
\mathdisp {\operatorname{SL}_{ n } \! { \left( {\mathbb F}_{ q } \right) }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 3 & 2 & 0 \\0 & 1 & 3 \end{pmatrix}} { }
über dem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
${\mathbb F}_5$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{,} $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{G ^{ \vee } = \operatorname{Char} \, ( G , K )}{} die
\definitionsverweis {Charaktergruppe}{}{} zu $G$. Beweise die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungzwei {
\mathl{G ^{ \vee }}{} ist eine kommutative Gruppe.
} {Bei einer
\definitionsverweis {direkten Gruppenzerlegung}{}{}
\mathl{G= G_1 \times G_2}{} ist
\mathl{(G_1 \times G_2)^{ \vee } = G_1 ^{ \vee } \times G_2 ^{ \vee }}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathkor {} {D_1} {und} {D_2} {}
\definitionsverweis {kommutative Gruppen}{}{}
und seien
\mathkor {} {D_1 ^{ \vee }} {und} {D_2 ^{ \vee }} {}
die zugehörigen
\definitionsverweis {Charaktergruppen}{}{}
zu einem
\definitionsverweis {Körper}{}{} $K$.
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass zu einem
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {D_1 } { D_2
} {}
durch die Zuordnung
\mathl{\chi \mapsto \chi \circ \varphi}{} ein Gruppenhomomorphismus
\maabbdisp {\varphi^{ \vee }} { D_2 ^{ \vee } } { D_1 ^{ \vee }
} {}
definiert wird.
} {Es sei $D_3$ eine weitere kommutative Gruppe und sei
\maabbdisp {\psi} {D_2 } { D_3
} {}
ein Gruppenhomomorphismus. Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( \psi \circ \varphi )^{ \vee }
}
{ =} { \varphi ^{ \vee } \circ \psi ^{ \vee }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $D$ eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.}
a) Zeige, dass durch
\maabbeledisp {} { D } { ( D ^{ \vee } )^{ \vee }
} { d } { (\operatorname{ev}_d : \chi \mapsto \chi (d) )
} {,}
ein natürlicher
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} von $D$ in das Doppeldual
\mathl{( D ^{ \vee } )^{ \vee }}{} gegeben ist.
b) Es sei nun $D$ endlich und es sei vorausgesetzt, dass $K$ eine $m$-te
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{} enthält, wobei
\mathl{m}{} der
\definitionsverweis {Exponent}{}{}
von $D$ sei. Zeige, dass dann die Abbildung aus a) ein
\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
Die in der vorstehenden Aufgabe auftretende Abbildung
\mathl{\operatorname{ev}_d}{} heißt \stichwort {Evaluierungsabbildung} {}
\zusatzklammer {zu $d$} {} {.}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $D$ eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Wir betrachten die Zuordnung
\mathdisp {E \longmapsto E ^{ { \perp } } = { \left\{ \chi \in D ^{ \vee } \mid \chi(d) = 1 \text{ für alle } d \in E \right\} }} { , }
die einer Untergruppe von $D$ eine Untergruppe von $D ^{ \vee }$ zuordnet. Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungdreiabc{Die Zuordnung ist inklusionsumkehrend.
}{Unter der kanonischen Abbildung
\maabbeledisp {} {D } { ( D ^{ \vee } )^{ \vee }
} {d } { (\operatorname{ev}_d: \chi \mapsto \chi(d) )
} {,}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ev}_d (E)
}
{ \subseteq }{ (E ^{ { \perp } }) ^{ { \perp } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es sei vorausgesetzt, dass $K$ eine $m$-te
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{}
enthält, wobei $m$ der
\definitionsverweis {Exponent}{}{}
von $D$ sei. Zeige, dass dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ev}_d (E)
}
{ = }{ (E ^{ { \perp } }) ^{ { \perp } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $D$ eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Exponenten}{}{}
$m$, und es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
der eine
\definitionsverweis {primitive}{}{}
$m$-te
\definitionsverweis {Einheitswurzel}{}{}
besitzt. Zeige, dass die Zuordnungen
\mathdisp {E \longmapsto E ^{ { \perp } } = { \left\{ \chi \in D ^{ \vee } \mid \chi(d) = 1 \text{ für alle } d \in E \right\} }} { }
und
\mathdisp {H \longmapsto H ^{ { \perp } } = { \left\{ d \in D \mid \chi(d) = 1 \text{ für alle } \chi \in H \right\} }} { }
\zusatzklammer {zwischen den Untergruppen von $D$ und den Untergruppen von $D ^{ \vee }$} {} {}
zueinander
\definitionsverweis {invers}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $D$ eine endliche
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} mit der zugehörigen
\definitionsverweis {Charaktergruppe}{}{}
\mathl{D ^{ \vee }}{} in einen Körper $K$. Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} { D ^{ \vee } } { K ^{\times}
} {\chi} { \prod_{d \in D} \chi(d)
} {,}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel einer Untergruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ \operatorname{GL}_{ r } \! { \left( K \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die von zwei Elementen erzeugt wird, die beide als
\definitionsverweis {Endomorphismen}{}{}
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{}
sind, derart, dass die einzigen
$G$-\definitionsverweis {invarianten Untervektorräume}{}{}
\mathkor {} {0} {und} {K^r} {}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die natürliche
\definitionsverweis {Operation}{}{}
der
\definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ = }{ S_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf $K^n$.
\aufzaehlungzweiabc{Bestimme den
\definitionsverweis {Fixraum}{}{}
$F$ der Operation.
}{Finde ein
$G$-\definitionsverweis {invariantes Komplement}{}{,}
also einen
$G$-\definitionsverweis {invarianten Unterraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F \oplus U
}
{ = }{ K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die
\definitionsverweis {Untergruppe
}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ \operatorname{GL}_{ 2 } \! { \left( \R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die durch die drei Matrizen
\mathdisp {\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\, , \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{pmatrix}\, ,\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}} { }
erzeugt wird. Liste die Elemente dieser Gruppe auf und bestimme sämtliche Untergruppen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein Körper und sei $D$ eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
mit dem Exponenten $m$. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungvier{ $K$ besitzt eine $m$-te
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{.}
}{Zu jedem Primpotenzteiler $p^r$ von $m$ besitzt $K$ eine $p^r$-te primitive Einheitswurzel.
}{Zu jedem Teiler $n$ von $m$ besitzt $K$ eine $n$-te primitive Einheitswurzel.
}{Zu jeder
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
$n$ eines Elementes
\mathl{d \in D}{} besitzt $K$ eine $n$-te primitive Einheitswurzel.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $D$ eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E
}
{ \subseteq }{ D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{.}
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
\aufzaehlungzweiabc{Zeige, dass der
\definitionsverweis {Kern}{}{}
des natürlichen
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {\psi} { D ^{ \vee } } { E ^{ \vee }
} {\chi} { \chi {{|}}_E
} {,}
gleich $E ^{ { \perp } }$ ist.
}{Es sei vorausgesetzt, dass $K$ eine $m$-te
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{}
besitzt, wobei $m$ der
\definitionsverweis {Exponent}{}{}
von $D$ sei. Zeige, dass $\psi$
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
ist.
}
}
{} {}