Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2025-2026)/Arbeitsblatt 30/latex
\setcounter{section}{30}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{,} auf dem eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
$G$
\definitionsverweis {linear operiere}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
$G$-\definitionsverweis {irreduzibler Untervektorraum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
$G$-\definitionsverweis {invarianter}{}{} \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{U \cap W}{} gleich $W$ oder gleich $0$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass zu jeder \definitionsverweis {Darstellung}{}{} einer Gruppe $G$ in einen \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ ein \definitionsverweis {Charakter}{}{} \maabb {} { G } { K ^{\times} } {} gehört.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Man gebe eine \definitionsverweis {Darstellung}{}{} von $\Z$ in einen \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} an, die nicht \definitionsverweis {vollständig reduzibel}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Man gebe eine \definitionsverweis {Darstellung}{}{} von $( \Q^{\times},\cdot,1)$ in einen \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} an, die nicht \definitionsverweis {vollständig reduzibel}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {additive Gruppe}{}{}
\mathl{(K,+,0)}{} nicht
\definitionsverweis {linear reduktiv}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
\mathl{\Z/( p )}{} nicht
\definitionsverweis {linear reduktiv}{}{}
über $K$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine endliche
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{,}
deren
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
in $K$ sei. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Invariantenring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ K[X_1 , \ldots , X_n]^G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auch als Invariantenring zu einer
\definitionsverweis {kleinen Gruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G'
}
{ \subseteq }{ \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auftritt.
}
{} {}