Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2025-2026)/Arbeitsblatt 6/latex
\setcounter{section}{6}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ { \{ 1 , \ldots , n \} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei $\pi$ eine
\definitionsverweis {Permutation}{}{}
auf $M$. Die zugehörige
\betonung{Permutationsmatrix}{} $M_\pi$ ist dadurch gegeben, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_{ \pi (i),i}
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist und alle anderen Einträge $0$ sind. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M_\pi
}
{ =} { \operatorname{sgn}(\pi )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man mache sich klar, dass die \definitionsverweis {symmetrische Gruppe}{}{} $S_3$ die uneigentliche Symmetriegruppe eines \definitionsverweis {gleichseitigen Dreiecks}{}{} ist und die \definitionsverweis {alternierende Gruppe}{}{} $A_3$ dabei die \definitionsverweis {eigentliche Symmetriegruppe}{}{} ist. Ebenso für die $S_4$, die $A_4$ und das \zusatzklammer {gleichseitige} {} {} \definitionsverweis {Tetraeder}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wie findet man die in Aufgabe 6.2 angesprochenen Figuren in der natürlichen Operation der \mathkor {} {S_3} {bzw.} {S_4} {} auf dem \mathkor {} {\R^3} {bzw.} {\R^4} {} wieder?
}
{} {Man denke an
Aufgabe 3.19.}
\inputaufgabe
{}
{
Drücke das Quadrat der \definitionsverweis {Vandermondeschen Determinante}{}{} mit den \definitionsverweis {elementarsymmetrischen Polynomen}{}{} aus.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und $R$ eine kommutative
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{,}
auf der eine Gruppe $G$ als Gruppe von
$K$-\definitionsverweis {Algebraautomorphismen}{}{}
\definitionsverweis {operiere}{}{.}
Zeige, dass ein Element
\mathbed {f \in R} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {,}
allenfalls bezüglich eines
\definitionsverweis {Charakters}{}{}
\definitionsverweis {semiinvariant}{}{} sein kann.
}
{} {}
Es sei $M$ eine Menge, auf der eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$
\definitionsverweis {operiere}{}{.}
Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt
\definitionswortpraemath {G}{ invariant }{,}
wenn zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sigma
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sigma x
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine Menge, auf der eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
$G$
\definitionsverweis {operiere}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Teilmenge}{}{.}
Zeige, dass $T$ genau dann eine
$G$-\definitionsverweis {invariante Teilmenge}{}{}
ist, wenn $T$ eine
\definitionsverweis {Vereinigung}{}{}
von
\definitionsverweis {Bahnen}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine Menge, auf der eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
$G$
\definitionsverweis {operiere}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
$G$-\definitionsverweis {invariante Teilmenge}{}{.}
Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungdreiabc{Es gibt eine natürliche Abbildung
\maabbdisp {\varphi} { T \backslash G } { M \backslash G
} {}
zwischen den
\definitionsverweis {Bahnenräumen}{}{.}
}{Die Abbildung $\varphi$ ist
\definitionsverweis {injektiv}{}{.}
}{Die Abbildung $\varphi$ muss nicht
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
sein.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
auf dem eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
$G$ als Gruppe von
\definitionsverweis {Ringautomorphismen}{}{}
\definitionsverweis {operiere}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{,}
das unter der Gruppenoperation
\definitionsverweis {invariant}{}{}
ist
\zusatzklammer {es gelte also
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ f \sigma
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ f
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und jedes
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ \sigma
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungvierabc{Es gibt eine natürliche Operation von $G$ auf dem
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{R/ {\mathfrak a}}{.}
}{Es gibt einen
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\psi} { R^G/ { \left( {\mathfrak a} \cap R^G \right) } } { { \left( R/ {\mathfrak a} \right) }^G
} {.}
}{Die Abbildung $\psi$ aus Teil (b) ist injektiv.
}{Wenn $G$ endlich ist und $R$ einen Körper der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $0$ enthält, so ist $\psi$ surjektiv.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige durch ein Beispiel, dass der \definitionsverweis {Reynolds-Operator}{}{} zur \definitionsverweis {Operation}{}{} einer \definitionsverweis {endlichen Gruppe}{}{} auf einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} kein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ \subseteq }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {direkter Summand}{}{}
von
\definitionsverweis {kommutativen Ringen}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ IS
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Zugehörigkeit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $R$ und $S$
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{,}
wobei $R$ ein
\definitionsverweis {direkter Summand}{}{} von $S$ sei, sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ = }{ R \oplus V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einem
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
$V$. Zeige, dass für ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S_M
}
{ =} { R_M \oplus V_M
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $R$ und $S$
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{,}
wobei $R$ ein
\definitionsverweis {direkter Summand}{}{}
von $S$ sei, sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ = }{ R \oplus V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einem
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
$V$. Zeige, dass für ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S /IS
}
{ =} { R/I \oplus V/IV
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die
\definitionsverweis {Operation}{}{}
der
\definitionsverweis {symmetrischen Gruppe}{}{}
$S_n$ auf dem
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ K[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$. Bestimme
\zusatzklammer {zu
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ n
}
{ = }{ 2,3,4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und in geeigneter
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}} {} {}
für jede
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H
}
{ \subseteq }{ S_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den
\definitionsverweis {Reynolds-Operator}{}{}
von $R$ nach $R^H$.
}
{} {}
In
Beispiel 6.9
trat eine sogenannte \stichwort {erzwingende Algebra} {} auf.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ = }{ (f_1 , \ldots , f_n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein endlich erzeugtes
\definitionsverweis {Ideal}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein weiteres Element. Dann nennt man die $R$-Algebra
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A
}
{ =} { R [ T_1, \ldots , T_{ n }]/( f _1 T_{1} + \cdots + f _{ n } T_{ n }+ f )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die \definitionswort {erzwingende Algebra}{} zu den
\mathl{f_1 , \ldots , f_n,f}{.} Zeige, dass $A$ folgende Eigenschaft erfüllt: Zu jedem
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\maabb {\varphi} { R } { S
} {}
in einen kommutativen Ring $S$ mit der Eigenschaft
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(f)
}
{ \in }{ {\mathfrak a} S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es einen
$R$-\definitionsverweis {Algebrahomo\-morphismus}{}{}
\maabb {\vartheta} { A } { S
} {.}
Zeige ebenso, dass dieser Homomorphismus
\betonung{nicht}{} eindeutig bestimmt ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {unendlicher Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ K[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über $K$ mit der
\definitionsverweis {Standardgraduierung}{}{.}
Die
\definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{}
\mathl{K ^{\times}}{}
\definitionsverweis {operiert linear}{}{}
auf $K^n$ und auf dem Polynomring durch
\definitionsverweis {skalare Multiplikation}{}{.}
Zeige, dass die $d$-te
\definitionsverweis {Stufe}{}{}
$R_d$ mit dem Raum der
\definitionsverweis {relativen Invarianten}{}{}
bezüglich des
\definitionsverweis {Charakters}{}{}
\maabbeledisp {} { K ^{\times} } { K ^{\times}
} { z } { z^d
} {,}
übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
auf dem eine
\definitionsverweis {endliche Gruppe}{}{}
$G$ als Gruppe von
\definitionsverweis {Ringautomorphismen}{}{}
\definitionsverweis {operiere}{}{.}
Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungdreiabc{Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist der Ausdruck
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi_k(f)
}
{ =} { \sum_{T \subseteq G,\, { \# \left( T \right) } = k } \prod_{\sigma \in T} f \sigma
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {invariant}{}{.}
}{Wenn $R$ einen
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$0$ enthält, so erzeugen die
\mathbed {\psi_k(f)} {}
{f \in R} {,}
{k \in \N} {} {} {,}
den Invariantenring.
}{Teil b) gilt nicht ohne die Voraussetzung an die Charakteristik.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {endliche Gruppe}{}{,}
die auf einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ als Gruppe von
\definitionsverweis {Ringautomorphismen}{}{}
operiere, wobei die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
von $G$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
in $R$ sei. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Normalteiler}{}{.}
Es sei $\rho$ der
\definitionsverweis {Reynolds-Operator}{}{} zu $G$, $\delta$ der Reynolds-Operator zu $H$ und $\gamma$ der Reynolds-Operator zur Operation von
\mathl{G/H}{} auf $R^H$
\zusatzklammer {siehe
Proposition 5.1} {} {.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \rho
}
{ =} { \gamma \circ \delta
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}